Resolução:Seja a função 2L periódica dada por \(f(x) = x^3 − L^2x\) para \(x \in [−L, L]\).
Sua série de Fourier é dada por \( S_f(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{(-1)^n12L^3}{\pi^3n^3} sen(\dfrac{n\pi x}{L}).\)
Use a identidade de Parseval para mostrar que \(\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n^6} = \dfrac{\pi^6}{945}.\)
Pela série de Fourier dada, sabemos que \(a_0 = a_n = 0 \) e \( b_n = \dfrac{(-1)^n12L^3}{\pi^3n^3}\). Utilizando a identidade de Parseval, temos que:
\( \dfrac{a_0^2}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty (a_n^2 + b_n^2) = \dfrac{1}{L} \int\limits_{-L}^L f^2(x)dx\)
\( \dfrac{0^2}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty (0^2 + [\dfrac{(-1)^n12L^3}{\pi^3n^3}]^2) = \dfrac{1}{L} \int\limits_{-L}^L (x^3 - L^2x)^2dx\)
Removendo os valores nulos, e aplicando as potências chegamos ao seguinte resultado:
\( \sum\limits_{n = 1}^\infty (\dfrac{144L^6}{\pi^6n^6}) = \dfrac{1}{L} \int\limits_{-L}^L (x^6 - 2L^2x^4 + L^4x^2)dx\)
Isolando \(n\) no somatório e resolvendo a integral temos:
\( \dfrac{144L^6}{\pi^6} \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty (\dfrac{1}{n^6}) = \left.\dfrac{1}{L} \cdot (\dfrac{x^7}{7} - \dfrac{2L^2x^5}{5} + \dfrac{L^4x^3}{3}) \right|_{-L}^L\)
\( \dfrac{144L^6}{\pi^6} \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty (\dfrac{1}{n^6}) = \dfrac{1}{L} \cdot (\dfrac{2L^7}{7} + \dfrac{2L^7}{3} - \dfrac{4L^7}{5}) \)
\( \sum\limits_{n = 1}^\infty (\dfrac{1}{n^6}) = \dfrac{\pi^6}{144L^7} \cdot (\dfrac{2L^7}{7} + \dfrac{2L^7}{3} - \dfrac{4L^7}{5}) \)
\( \sum\limits_{n = 1}^\infty (\dfrac{1}{n^6}) = \dfrac{\pi^6}{144} \cdot \dfrac{16}{105} \)
Resultado:
\( \sum\limits_{n = 1}^\infty (\dfrac{1}{n^6}) = \dfrac{\pi^6}{945} \)
