Considere a equação diferencial
\(y' = x^2 + y^2\)
com a condição inicial que \(y=1\) quando \(x=0\). Assuma que que a dada equação diferencial possui uma solução por séries de potência e calcule os primeiros quatro termos não nulos de sua expansão.
Resolução
Considerando que existe uma solução por séries de potência então temos a seguinte equivalência
\(f(x) = \sum^{\infty}_{n=0}{a_nx^n}\)
Então, reescrevendo a equação do enunciado, nós temos que
\(f'(x) = x^2 + (f(x))^2\)
Logo, derivando também o somatório que represente a série nós temos
\(f(x) = \sum^{\infty}_{n=1}{na_nx^{n-1}} = x^2 \sum^{\infty}_{n=0}{(\sum^{n}_{n=0}{a_ka_{n-k}})x^n}\)
Essa série, expandida, possui a seguinte forma
\(a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + ... = a_0^2 +2a_0a_1x + (a_1^2 + 2a_0a_2 +1)x^2 + ...\)
Então, considerando a condição definida no enunciado que determina que \(y=1\) quando \(x=0\) nós podemos concluir que \(a_0=1\). Dessa forma, podemos igualar termos de mesma potência para encontrar o valor de seus termos
\(a_0=1\)
\(a_1 = a_0^2 = 1\)
\(2a_2 = 2a_0a_1 = 2\)
\(3a_3 = a_1^2 + 2a_0a_2 + 1 = 4\)
Logo, os primeiros quatro termos não nulos da expansão são
\(y=1+x+x^2+\frac{4}{3}x^3\)