[Resolução] III.6.5e

[pedro-rossi]

Supondo que a função seja \(2\pi\) periódica, calcule a série de Fourier para \(f(x)=x^2\)

\(
a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}x^2 dx = \frac{\pi^2}{3}
\)

\(
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}x^2 cos(nx) dx
\)

Usarei a integração por partes para resolver esta integral.
\(
u = x^2 \rightarrow du = dx\\
dv=cos(nx) \rightarrow v=\frac{sen(nx)}{n}
\)

\(
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}x^2 cos(nx) dx \\
= x^2 \frac{sen(nx)}{n}\vert_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{n} \int_{-pi}^{pi}sen(nx) \hspace{1cm} (1)\\
\)

Esta integral também pode ser resolvida com a integração por partes:
\(
u=2x \rightarrow du=2\\
dv=sen(nx) \rightarrow v=\frac{-cos(nx)}{n}\\
\)

\(
= -2x\frac{cos(nx)}{n} \vert_{-\pi}^{\pi} + \frac{2}{n} \int_{-\pi}{\pi}cos(nx)\\
= -4\pi \frac{cos(n\pi)}{n}
\)

Retomando em \((1)\) com este resultado encontrado:
\(
= \frac{4cos(n\pi)}{n^2}\\
= \frac{4}{n^2}(-1)^n\\
\)

Como \(f(x)=x^2\) é uma função par, \(b_n = 0\).

Por fim, inserindo os coeficientes de Fourier na fórmula geral:
\(S_f(x) = \frac{\pi^2}{3}+4 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{cos(nx)}{n^2}\)

[pedromonici]

Olá! Muito boa a sua resolução, me ajudou a entender um pouco mais sobre Fourier. Só para ficar claro, você verificou as condições iniciais da função para saber se é possível calcular o Fourier?

[PedroAugusto]

Também gostei da resolução. Em relação a poder calcular a série de Fourier, neste caso acho que basta reparar que a função em questão é par. Sendo assim, não só pode ser escrita como uma série de Fourier, como basta a componente par (a parte dos cossenos) para escrevê-la. Os coeficientes bn da parte ímpar são todos nulos, pelo fato da função f ser par.

[pedro-rossi]

Também gostei da resolução. Em relação a poder calcular a série de Fourier, neste caso acho que basta reparar que a função em questão é par. Sendo assim, não só pode ser escrita como uma série de Fourier, como basta a componente par (a parte dos cossenos) para escrevê-la. Os coeficientes bn da parte ímpar são todos nulos, pelo fato da função f ser par.

Acho que também é interessante notar que \(f(x)=x^2\) tem um número finito de descontinuidades (nenhuma), assim como sua derivada \(f'(x)=2x\). Isto é, ambas são contínuas por partes e portanto atendem aos critérios para a Série de Fourier existir.