Consider the series:
\(\sum_{n=1}^\infty(\frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdot ...\cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot...\cdot(2n)})^k\)
Use Gauss’ test to prove that the series converges for \(k> 2\) and diverges for \(k \leq 2\).
Resolução:
Pela definição temos:
\(a_n = (\frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-1)}{2\cdot 4 \cdot 6 ... \cdot (2n)})^k\),
\(a_{n+1} = (\frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n+1)}{2\cdot 4 \cdot 6 ... \cdot (2n+2)})^k\).
Então,
\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = (\frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n+1)}{2\cdot 4 \cdot 6 ... \cdot (2n+2)})^k \cdot (\frac{2\cdot 4 \cdot 6 ... \cdot (2n)}{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-1)})^k\)
\(=(\frac{2n+1}{2n+2})^k = (1- \frac{1}{2(n+1)})^k\).
Usando a expansão de Taylor,
\((1-x)^k = 1 - kx + \frac{1}{2}k(k-1)x^2 - ...\)
Então nós temos,
\( (1- \frac{1}{2(n+1)})^k = 1 - \frac{k}{2}(\frac{1}{n+1}) + \frac{k(k-1)}{8}(\frac{1}{(n+1)^2}\)
\( = 1 - \frac{k/2}{n+1} + \frac{f(n)}{n^2}\),
onde \(f(n)\) é limitada. \(A = \frac{k}{2}\) aplicamos o teste de Gauss para concluir que \(\sum a_n/latex] converge se \(k > 2\) e diverge se \(k\leq 2 \)\)
