Para calcular se a série \(\sum _{i=1}^\infty \frac{(-1)^i i^{37}}{(j+1)!}\) é convergente ou não, usamos o teste da razão, de forma que:
\(\frac{a_{i+1}}{a_i} = \frac{(i+1)^{37}}{(i+2)!}\frac{(i+1)!}{i^{37}}=(\frac{i}{i+2})(1+\frac{1}{i})^{37} \to 0\)
Converge para \(\sum |a_i|\) , então \(\sum a_i\) converge.
Assim, a série converge absolutamente.