[Resolução] 11.16.16

[macarrao_carbonara]

Enunciado:
Assumindo que a equação diferencial $$ y'' = xy $$ tem como solução uma série de potências de forma $$ \sum^\infty_{n=0}a_nx^n $$, ache a fórmula do coeficiente a_n.

Resolução:
Primeiramente, tem-se:
$$
y = \sum^\infty_{n = 0} a_nx^n \\

y' = \sum^\infty_{n=1}na_nx^{n-1} \\

y'' = \sum^\infty_{n=2} n(n-1)a_nx^{n - 2} = \sum^\infty_{n=0} (n+2)(n+1)a_nx^{n}
$$
Fazendo uma melhor análise do que está acontecendo,
$$
\sum^\infty_{n=0} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} = x\sum^\infty_{n=0} a_nx^n \\
\sum^\infty_{n=0} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} = \sum^\infty_{n=0} a_nx^{n+1} \\
2a_2 +\sum^\infty_{n=0} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} = \sum^\infty_{n=0} a_nx^{n+1} \\
2a_2 +\sum^\infty_{n=0} (n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n} = \sum^\infty_{n=0} a_nx^{n+1} \\
$$
É possível escrever como potências de x, assim tem-se uma recursão para an quando n > 2, que seria:
$$
a_{n+3} = \frac{a_n}{(n+3)(n+2)}
$$
Além disso, pode-se concluir que o a_2 = 0, o a_0 e o a_1 são constantes arbitrárias, assim ficaria abaixo a série de potências:
$$
y = a_0 \Biggl( 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{3n}}{ (2*3)(5*6)...((3n-1)*(3n))} \Biggl)
+ a_1\Biggl( x + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{3n+1}}{ (3*4)(6*7)...((3n)*(3n+1))} \Biggl)
$$