Prove que \(e^{-x^2}\) é representado pela seguinte série de potência:
$$
e^{-x^2} = \sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}
$$
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De exercícios anteriores, sabemos que:
$$
e^{x} = \sum^\infty_{n=0}\frac{x^{n}}{n!}
$$
Então, substituindo \(x\) por \(-x^2\), temos:
$$
e^{-x^2} = \sum^\infty_{n=0}\frac{(-x^2)^n}{n!} \\
= \sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}
$$
para qualquer \(x \in \mathbb{R}\)