Enunciado
Determinar o intervalo de convergência da série de potências que descreve f e mostrar que satisfaz a equação diferencial indicada, em que \(y=f(x)\)
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{(n!)^2}\quad\text{Equação diferencial: } xy''+y'-y=0$$
Solução
Primeiramente, iremos determinar o intervalo de convergência, em que aplicamos o teste da razão, obtendo:
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!^2}\cdot\frac{(n!)^2}{x^n}=\frac{x}{(n+1)^2}=0$$
Dessa forma, concluímos que o intervalo da reta real é o intervalo de convergência, logo \(R=\infty\)
Agora, para analisar a equação diferencial, teremos que computar a primeira e segunda derivada de \(y=f(x)\)
$$y=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n}}{(n!)^2}\implies y'=\sum_{n=1}^\infty\frac{nx^{n-1}}{(n!)^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{(n!)(n!)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n[(n-1)!]^2}$$
$$y''=\sum_{n=2}^\infty\frac{(n-1)x^{n-2}}{n[(n-1)!]^2}=\sum_{n=2}^\infty \frac{(n-1)x^{n-2}}{n(n-1)!(n-1)!}=\sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}{n(n-1)[(n-2)!]^2}$$
Agora, na equação diferencial, teremos:
$$xy'' +y' -y=x\left(\sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}{n(n-1)[(n-2)!]^2} \right) +\sum_{n=1}^\infty\left( \frac{x^{n-1}}{n[(n-1)!]^2}\right) - \left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n}}{(n!)^2}\right)
\\=\sum_{n=1}^\infty\left(\right)
$$
Vamos ajeitar os somatórios para que comecem do mesmo n:
$$xy'' +y'-y=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{(n+1)n[(n-1)!]^2}+\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(n+1)(n!)^2}-\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{(n!)^2}\\=1-1+\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(n+1)n[(n-1)!]^2}+\frac{x^n}{(n+1)(n!)^2}-\frac{x^n}{(n!)^2}$$
Agora, iremos colocar em evidência \(x^n\) e colocar os termos sobre uma mesma base
$$xy''+y'-y=\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)n[(n-1)!]^2}+\frac{1}{(n+1)(n!)^2}+\frac{1}{(n!)^2}\right)x^n
\\=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{(n+1)n(n-1)!(n-1)!}+\frac{1}{(n+1)(n!)(n!)}-\frac{1}{(n!)(n!)}\right)x^n
\\=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{n+1-n-1}{(n+1)n^2[(n-1)!]^2}\right)x_n=0
$$
Assim, concluímos que de fato \(xy''+y'-y=0\) para \(y=f(x)\), em que
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{(n!)^2}$$