\(f(x) =
\begin{cases}
0, & x \leq 0 \\
x, & x > 0
\end{cases}\)
- Verificação de continuidade:
- Se x \(\leq\) 0, então \(f(x) = 0\) (função constante/contínua) e \(f(0) = 0\).
- Se x > 0, então f(x) = x (função contínua).
- Assim, \(\underset{x \to 0^{+}} {\lim}f(x) = \underset{x \to 0^{-}} {\lim}f(x) = 0 \; \Rightarrow \; \underset{x \to 0} {\lim}\) f(x) = f(0) = 0
- Então, f(x) é função contínua.
- Calcular \(\int_{-1}^{1} f(x) dx\):
- Dados relevantes: x \(\in\) [-1,1] e f(x) não é par, nem impar.
- Calculando por cálculo integral:
\(\int_{-1}^{1} f(x)\; dx = \int_{-1}^{0} f(x)\; dx + \int_{0}^{1} f(x)\; dx \\ = \int_{-1}^{0} 0 \; dx + \int_{0}^{1} x\; dx \\ = \frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} = \frac{1}{2}\\\)
- Calculando por Série de Fourier:
\(S_{f}(x) = \frac{a_{0}}{2} + \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} \left( a_{n}\cos{\frac{xn\pi}{L}} + b_{n}\sin{\frac{xn\pi}{L}}\right)\\ \\
a_{n} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos{\frac{nx\pi}{L}}\;dx\\
b_{n} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\sin{\frac{nx\pi}{L}}\;dx\\ \\\)
Portanto, devemos calcular: \(L,\; a_{0},\; a_{n},\; b_{n}.\)- Calculando L: \(\\ 2L = 1 - (-1) \to L = 1\\ \\\)
- \(Calculando\;a_{0}:\\
a_{0} = \frac{1}{1} \int_{-1}^{1} f(x)\cos{\frac{0n\pi}{1}}\;dx\\
= \int_{-1}^{1} f(x)\; dx\\
= \int_{-1}^{0} 0\; dx + \int_{0}^{1} x\; dx\\
= \frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\\
a_{0} = \frac{1}{2}\\ \\\)
- \(Calculando\; a_{n}:\\
a_{n} = \frac{1}{1} \int_{-1}^{1} f(x)\cos{\frac{nx\pi}{1}} \; dx\\
= \int_{-1}^{0} 0\; dx + \int_{0}^{1} x\cos{nx\pi}\; dx\\
= \int_{0}^{1} x\cos{nx\pi}\; dx\; (integra\; por\; partes)\\
= \frac{n\pi\sin{n\pi} + \cos{n\pi}-1}{(n\pi)^{2}}\\ \\
Analisando\; na\; série:\\
n\pi\sin{n\pi} = 0\\
\cos{n\pi} = (-1)^{n}\\ \\
a_{n} = \frac{(-1)^{n}-1}{(n\pi)^{2}}\\ \\
Analisando\; a_{n}:\\
Se\; n = 2k\; (par) \Rightarrow 0.\\
Se\; n = 2k-1\; (impar) \Rightarrow \frac{-2}{(2k\pi - \pi)^{2}}.\\
a_{n} = a_{k} = \frac{-2}{(2k\pi - \pi)^{2}}\\ \\\)
Observação: o sinal irá desaparecer na solução final por causa do cosseno da fórmula: \(\cos{nx\pi} = -1\).
- \(Calculando\; b_{n}:\\
b_{n} = \frac{1}{1} \int_{-1}^{1} f(x)\sin{\frac{nx\pi}{1}}\;dx\\
= \int_{-1}^{0} 0\sin{nx\pi}\; dx + \int_{0}^{1} x\sin{nx\pi}\; dx\\
= \int_{0}^{1} x\sin{nx\pi}\; dx \; (integra\; por\; partes)\\
= \frac{\sin{n\pi}}{(n\pi)^{2}} - \frac{\cos{nx\pi}}{n\pi}\\
Analisando\; na\; série:\\
\sin{n\pi} = 0\\
\cos{n\pi} = (-1)^{n}\\
b_{n} = \frac{-(-1)^{n}}{n\pi}\\ \\
b_{n} = \frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}\\ \\\)
- \( Substituindo\; e\; Solução:\\
S_{f}(x) = \frac{1}{4} + \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}} \left(\frac{2}{(2k\pi-\pi)^{2}}\right) + \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} \left(\frac{(-1)^{n+1}\sin{nx\pi}}{(n\pi)^{2}} \right)\\ \\\)