Primeiro, usamos o teste da razão para determinar o intervalo de convergência,
\(\lim _{n\to \infty }\left(\frac{a_n+1}{a_n}\right)=\lim _{n\to \infty }\left(\left(\frac{\left(3x\right)^{2n+3}}{\left(2n+3\right)!}\right)\left(\frac{\left(2n+1\right)!}{\left(3x\right)^{^{^{2n+1}}}}\right)\right)\)
\(=\lim _{n\to \infty }\left(\frac{9x^2}{\left(2n+2\right)\left(2n+3\right)}\right)=0\)
Portanto, a série converge para todo x. Então, para mostrar que satisfaz a equação diferencial dada, tomamos as duas primeiras derivadas,
\(f\left(x\right)=x+\sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{\left(3x\right)^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\)
\(f'\left(x\right)=1+3\sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{\left(3x\right)^{2n}}{\left(2n\right)!}\)
\(f''\left(x\right)=9\sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{\left(3x\right)^{2n-1}}{\left(2n-1\right)!}\)
Então nós temos:
\(9\left(y\:-\:x\right)=9\left(-x\:+\:x\:+\:\sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{\left(3x\right)^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\right)\)
\(=9\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{\left(3x\right)^{2n-1}}{\left(2n-1\right)!}=y''\)
Portanto, f(x) é de fato uma solução da equação diferencial dada.
Agora, para encontrar a soma, primeiro precisamos obter a forma geral das soluções para a equação diferencial
\(y''\:=\:9\left(y\:-\:x\right)\:\rightarrow \:y''\:-9y\:=\:-9x\)
Primeiro, encontramos a forma geral das soluções da equação homogênea
\(y''\:-9y=0\)
Neste caso temos uma equação da forma y'' + ay' + by = 0 onde a = 0 e b= -9. A partir disso, podemos calcular \(d = a^2 - 4b = 36\) e \(k = \frac{1}{2} \sqrt{d} = 3\). Portanto, a forma geral das soluções é
\(y=e^{\frac{-ax}{2}}\left(c_1e^{kx}+c_2e^{-kx}\right)=c_1e^{3x}+c_2e^{-3x}\)
Então, podemos encontrar uma solução particular \(y_1\) da equação dada por inspeção já que:
\(y′′-9y=-9x\:\rightarrow \:y_1=x\)
é uma solução. Portanto, a solução geral para a equação não homogênea dada é
\(y=c_1e^{3x}+c_2e^{-3x}+x\)
Agora, no caso particular também temos a condição inicial \(f(0) = 0\) e assim temos
\(f\left(0\right)=c_1+c_2=0\)
Além disso, como f(x) é uma função ímpar, devemos ter
\(f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\:\rightarrow \:c_1-c_2\:=\:1\)
Portanto, concluímos \(c_1 =\frac{1}{2}\) e \(c_2 = -\frac{1}{2}\). E entao,
\(f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{3x}-\frac{1}{2}e^{-3x}+x=x+sinh\left(3x\right)\)