O fato de que \(|a_n| < 10\) nos permite deduzir a desigualdadeTeste se a seguinte série converge ou diverge. Dê um motivo para sua decisão.
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{|a_n|}{10^n} \text{,} \quad |a_n| < 10 \; \text{.}\]
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{|a_n|}{10^n} < \sum_{n = 1}^\infty \frac{10}{10^n} \; \text{.}\]
Como
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{10}{10^n} = \sum_{n = 1}^\infty \left(\frac{1}{10}\right)^{n-1} = \frac{1}{1 - 1/10} = \frac{10}{9} \; \text{,}\]
temos que
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{|a_n|}{10^n} < \frac{10}{9} \; \text{.}\]
Isso mostra que a sequência de suas somas parciais é limitada superiormente. Já que todos os seus termos são maiores ou iguais a \(0\), concluímos que a série converge e tem uma soma \(< 10/9\).