[Resolução] 10.4.35d

[vki_frodo]

10.4.35 d)
Utilizar o exercício 34 para estabelecer a seguinte relação :
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}} = log(1+\sqrt{2})\)

Resposta:
Dada a relação a pontada pelo exercício 34:
\(t_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n}) => \int _0 ^1 f(x) dx\)

Temos que:
\(f(x) = \frac{1}{n}f(\frac{k}{n}) = \frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}} \)
\(f(x) = f(\frac{k}{n}) = \frac{n}{\sqrt{n^2 + k^2}} \)
\(f(x) = f(\frac{k}{n}) = \frac{n}{\sqrt{n^2 + k^2}} \cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\)
\(f(x) = f(\frac{k}{n}) = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{ n^2 + k^2 } }{ \sqrt{ n^2 } } } \)
\(f(x) = f(\frac{k}{n}) = \frac{1}{ \sqrt{\frac{n^2}{n^2} + \frac{k^2}{n^2}} } \)
\(f(x) = f(\frac{k}{n}) = \frac{1}{ \sqrt{1 + (\frac{k}{n})^2} } \)
\(f(x) = \frac{1}{ \sqrt{1 + x^2} } \)

Assim:
\(\int _0 ^1 f(x) dx => \int _0 ^1 \frac{1}{ \sqrt{1 + x^2} } dx\)

Resolvendo a Integral obtemos o resultado proposto:
\(\int _0 ^1 \frac{1}{ \sqrt{1 + x^2} } dx = log(1+\sqrt{2})\)

[ZenaoDeEleia]

Dada a relação a pontada pelo exercício 34:
\(t_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n}) => \int _0 ^1 f(x) dx\)

Cuidado pra não esquecer do limite.

\[ \lim_{n \to \infty}t_n = \int _0^1 f(x) dx\].