Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

Segundo a fórmula dada,

\( \sum _{n=1}^{\infty} \frac{cos(nx)}{n^2}=\frac{x^4}{4}-\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{6} \)

Aplicando ela para \(x=0\), temos

\( \sum _{n=1}^{\infty} \frac{cos(0)}{n^2}=\frac{0}{4}-\frac{0}{2} + \frac{\pi}{6} \)

\( \sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi}{6} \)

Queremos determinar se a série converge ou diverge: \( \sum _{n=2} ^{\infty} \frac{1}{log(n) ^{\frac{1}{n}} } \) Porém para \(n > 2\), temos que \( log(n) ^{\frac{1}{n}} < log(n) \) Logo \( \frac{1}{ log(n) ^{\frac{1}{n}} } > \frac{1}{ log(n)} \) E sabemos que \( \sum _{n=2} ^{\infty} \frac{1}{log(n...

Traduzindo a afirmação da questão 34 para um intervalo \( [a,b] \), nós temos que se \(f(x)\) for uma função monotona crescente e limitada no intervalo \([a,b]\), então \( \lim _{n -> \infty} s_n = \int _a ^b f(x) dx \) e \( \lim _{n -> \infty} t_n = \int _a ^b f(x) dx \) para \(s_n\) e \(t_n\) tais...

Segundo o exercício 34, temos que se f for uma função monótona crescente e limitada entre 0 e 1, a sucessão \( t_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n}) \) converge para o limite \(\int _0 ^1 f(x) dx \). No caso, temos que calcular \( lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2 + k^2} \...