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Assumindo que \frac{1}{x^2+x+1} tenha uma representação em série de potências em termos de x , verifique se essa tem a forma $$ \frac{1}{x^2+x+1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \sin \left(\frac{2 \pi (n+1)}{3}\right)x^n \ $$ Válida para todo real x tal que |x| < 1 Dica: x^3 - 1 = (x - 1)(x...

Verifique se a função f(x) = sen(x^2 + 1) são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares: Primeiro precisamos da definição do que é uma função par e do que é uma função ímpar, sabemos que em uma função par f(x) = f(-x) e que em uma função ímpar -f(x) = f(-x) . Vamos então resolver a f(x) e de...

Teste a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{2^n} converge ou diverge e explique seus testes. Testando a série a partir do critério da razão que nos diz que: lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L e que L < 1 converge, então precisamos calcular o L e garantir que ele seja < 1 \lim_{n \to \infty}...

Prove que a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} converge para 1 Podemos perceber que nossa série se trata de uma telescópica. Sendo assim precisamos resolver o sistema: \frac{x}{n^2} + \frac{y}{(n+1)^2} Sabemos que: x(n+1)^2 + yn^2 = 2n+1 , ou seja, xn^2 + 2xn + x + yn^2 = 2n+1 Para que...