Prove que a série \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \) converge para \( 1 \)
Podemos perceber que nossa série se trata de uma telescópica. Sendo assim precisamos resolver o sistema:
\( \frac{x}{n^2} + \frac{y}{(n+1)^2} \)
Sabemos que: \( x(n+1)^2 + yn^2 = 2n+1 \), ou seja, \( xn^2 + 2xn + x + yn^2 = 2n+1 \)
Para que essa igualdade seja verdadeira temos que garantir que \( xn^2 = yn^2 \) e que \( 2nx + x = 2n + 1 \)
No primeiro caso temos:
(i) \( \left\{\begin{matrix}
xn^2 + yn^2 = 0 \\
xn^2 = -yn^2 \\
\therefore x = -y
\end{matrix}\right. \)
No segundo caso temos:
(ii) \( \left\{\begin{matrix}
2xn + x = 2n + 1 \\
x2n + x = 2n + 1 \\
\therefore x = 1
\end{matrix}\right. \)
Dado o resultado da (ii) podemos concluir a (i) e descobrir o valor de y dado que \( \left.\begin{matrix}
x = -y \\
x = 1
\end{matrix}\right\}
\therefore y = -1 \)
Substituindo os valores de x e y no sistema temos:
\( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n-1)^2} \longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n-1)^2}) \)
Devido a propriedade das séries telescópicas podemos escrever que:
\( \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n-1)^2}) = \sum_{n=1}^{\infty} (b_n - b_{n+1}) = b_1 - L \)
Tendo \( b_n = \frac{1}{n^2} \) podemos calcular:
\( b_1 = \frac{1}{1^2} = 1 \)
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \implies L = 0 \)
Finalizamos concluindo que \( b_1 - L = 1 - 0 = 1 \), ou seja, \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = 1 \) é verdade