Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

Enunciado: Use o item a) para mostrar que \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = \frac{\pi}{4}\] Resolução: Pegando a série de Fourier criada na alternativa a temos que: \[S_f(x) = \pi + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nsen(nx)}{n}\] Sendo que a nossa função (f) é igual a \(f(x) = \pi - x\)...

Enunciado: Calcule o raio de convergência para: \(\sum_{n = 0}^{\infty} a^{n^{2}}z^n, \; a < 0\) Resolução: Fazendo o teste da raiz, temos que: \(\lim_{n \to \infty} (a^{n^2}z^n)^{\frac{1}{n}} = L\) E sabemos que, pelo teorema, se \(L < 1\) a série converge e que o raio \(R\) é \(R = \frac{1}{L}\). ...

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{n^n}\) Utilizando o teorema do quociente temos que: \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^nn!}\) \(\implies \lim_{n \to \infty} \frac{2n^n}{(n+1)^{n}} \implies 2\lim_{n \to \infty} ...

Enunciado: \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \log(2)\) Resolução Primeiramente, sabemos a seguinte afirmação, de acordo com o que foi feito no ex 10.34: \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\frac{k}{n})\) converge para \(\int_{0}^{1}f(\frac{k}{n})\) Além disso temos ...