[Resolução] III.6.9b

[felp]

Enunciado:
Use o item a) para mostrar que \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = \frac{\pi}{4}\]

Resolução:
Pegando a série de Fourier criada na alternativa a temos que:
\[S_f(x) = \pi + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nsen(nx)}{n}\]

Sendo que a nossa função (f) é igual a \(f(x) = \pi - x\).

Dessa forma, podemos calcular o valor esperado para x igual a \(\frac{\pi}{2}\):
\[f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} = \pi + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nsen(n\frac{\pi}{2})}{n}\]
\[-\frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nsen(n\frac{\pi}{2})}{n}\]

Porém, o \(sen(n\frac{\pi}{2})\), quando n é par é igual a 0 e quando n é ímpar ele varia de -1 a 1, ficando da seguinte forma:
\[-\frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n-1}(-1)^{n-1}}{2n-1}\]
\[-\frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{3n-2}}{2n-1}\]

Já que o elevado do \(-1\) apenas muda o sinal dele, podemos mudar ele para apenas n, já que, quando n é 1 ele começa negativo, depois fica positivo, e continua alternando até o infinito, assim temos:
\[-\frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n-1}\]

Logo, para cancelar o menos que fica na parte esquerda da equação podemos retirar um -1 de dentro do somatório, ficando:
\[\frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\]
Chegando na nossa forma final.

[otavio12]

Opa, valeu pela resolução, me ajudou muito !

[rzimmer]

Seria legal expandir a função sen(pi/2 * n) para mostrar a equivalência, ou então montar uma prova mais elaborada, tirando isso, perfeito raciocínio.

É importante também pra quem tem dificuldade na expansão ou simplificação do seno.