Topologia e conjuntos em exercícios

Devemos mostrar que para toda L-fórmula $\varphi$, temos que $\mathcal{M} \vDash \varphi$ se, e somente se, $\mathcal{N} \vDash \varphi.$

Mostremos a ida , sejam uma L-fórmula $\varphi$ e uma valoração $\beta$ em $\mathcal{N}$ , consideremos a seguinte valoração $\beta h^{-1}$ em $\mathcal{M}$ , assim pela hipótese ($\mathcal{M} \vDash \varphi[\alpha] ,\forall\alpha$ valoração) e pelo resultado anterior, temos $\mathcal{M} \vDash \varphi[\beta h^{-1}]$ se, e somente se, $\mathcal{N} \vDash \varphi[\beta ]$, onde $h$ é bijeção entre $M$ e $N$. Analogamente, provamos a volta.