Topologia e conjuntos em exercícios

$ (i) \implies (ii) $

Seja $ \mathcal{A} = (A,\cdot^{\mathcal{A}}) \subseteq \mathcal{N} $ submodelo, com $ h:M \to N $ isomorfismo.

Seja $ \varphi $ do tipo $ s = t $, $ \mathcal{M} \models \phi[\alpha] \iff \mathcal{A} \models \varphi[h\circ \alpha] \iff \mathcal{N} \models \phi[h\circ \alpha] $, pois os termos de submodelos são iguais.

Seja $ \varphi $ do tipo $ R(t_{1},\ldots,t_{n}) $, tome $ \mathcal{M} \models \varphi [\alpha] $, temos então que $ (t_{i}^{\mathcal{M}}[\alpha])_{i=1,\ldots,n} \in R^{\mathcal{M}} $ $ \iff $ $ (h(t_{i}^{\mathcal{A}}[\alpha])) \in R^{\mathcal{A}} = R^{\mathcal{N}} \cap A^{n} $ $ \iff $ $ (t_{i}^{\mathcal{N}}[h \circ \alpha])_{i = 1,\ldots,n} \in R^{\mathcal{N}} $.

Note que se não usarmos quantificadores, temos por indução sobre a complexidade de $ \varphi $, compondo apenas sob $ \land $ e $ \neg $, que o teorema é válido para fórmulas sem quantificadores.

Seja $ \mathcal{A} \not\prec \mathcal{N} $, note que teríamos falha na recursão sob a propriedade $ P(\varphi) \implies P(\exists x \, \varphi) $, mas com ela, temos $ \mathcal{M} \models \phi \overset{\mathcal{M} \equiv \mathcal{A}}{\iff} \mathcal{A} \models \phi \overset{\mathcal{A} \prec \mathcal{N}}{\iff} \mathcal{N} \models \phi $.

$ (ii) \implies (i) $

Da observação $ \mathcal{M} \models \phi \overset{\mathcal{M} \equiv \mathcal{A}}{\iff} \mathcal{A} \models \phi \overset{\mathcal{A} \prec \mathcal{N}}{\iff} \mathcal{N} \models \phi $ já temos a implicação pro caso elementar.

Seja $ h:M \to N $ tal que, para toda $ \theta $ atômica, $ \alpha $ valoração em $ M $, $ \mathcal{M} \models \theta[\alpha] \iff \mathcal{N} \models \theta [h\circ \alpha] $.

De fato, de $ \mathcal{M} \models t = s[\alpha] \iff \mathcal{N} \models t = s [h \circ \alpha] $, seja $ t = c $ com $ c $ constante, temos que $ h(t^{\mathcal{M}}[\alpha]) = h(c^{\mathcal{M}}) = c^{\mathcal{N}} $.

Tome agora $ \mathcal{M} \models t = f(t_{1},\ldots,t_{n})[\alpha] \iff \mathcal{N} \models t = f(t_{1},\ldots,t_{n})[h\circ \alpha] $ e suponha que $ h(t_{i}^{\mathcal{M}}[\alpha]) = t_{i}^{\mathcal{N}}[h\circ \alpha] $, de fato

\[ f^{\mathcal{N}}(t_{1}^{\mathcal{N}}[h\circ\alpha],\ldots,t_{n}^{\mathcal{N}}[h\circ\alpha]) = f^{\mathcal{N}}(h(t_{1}^{\mathcal{M}}[\alpha]),\ldots,h(t_{n}^{\mathcal{M}}[\alpha])) = t^{\mathcal{N}}[h \circ \alpha] = h(t^{\mathcal{M}}[\alpha]) = h(f^{\mathcal{M}}(t_{1}^{\mathcal{M}}[\alpha],\ldots,t_{n}^{\mathcal{M}}[\alpha]) \]

Das observações acima temos que $ \mathcal{M} \models t = s[\alpha] $ então $ \mathcal{N} \models t = s[h \circ \alpha] $ fazendo indução sob a complexidade dos termos. Usando isso, podemos concluir que $ h $ satisfaz a hipótese sobre símbolos relacionais.