Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $\mathcal B$ base enumerável de $X$.

Como $Y \subset X$, temos que $\mathcal B' = \{Y \cap B : B \in \mathcal B\}$ é base de $Y$ (ver este exercício). Além disso, como existe uma quantidade enumerável de abertos $B \in \mathcal B$, existe também uma quantidade enumerável de abertos $Y \cap B \in \mathcal B'$, isto é, $\mathcal B'$ é enumerável. Logo, $Y$ tem base enumerável e, portanto, é separável.