Topologia e conjuntos em exercícios

Considere $(X, \tau)$ espaço topológico e $\tau' = \{Y \cap A: A \in \tau\}$, $Y \subset X$, uma topologia de subespaço para $Y$. Vamos mostrar que $\tau'$ de fato satisfaz as condições apresentadas neste exercício.

1. Por hipótese, $\emptyset, X \in \tau$. Temos então que $Y \cap \emptyset = \emptyset \in \tau'$ e $Y \cap X = Y \in \tau'$.

2. Sejam $Y \cap A, Y \cap B \in \tau'$, onde $A,B \in \tau$. Temos que $(Y \cap A) \cap (Y \cap B) = Y \cap A \cap B = Y \cap (A \cap B)$. Como $A,B \in \tau , A \cap B \in \tau$. Assim $Y \cap (A \cap B) \in \tau'$.

3. Seja $\mathcal A \subset \tau$. Temos que $\bigcup_{A \in \mathcal A} A \cap Y = (\bigcup_{A \in \mathcal A} A) \cap Y$. Como todo $A \in \tau$, temos que $\bigcup_{A \in \mathcal A} A \in \tau$. Logo $(\bigcup_{A \in \mathcal A} A) \cap Y \in \tau'$.

Portanto, como $\tau'$ satisfaz essas condições, $\tau'$ é topologia sobre $Y$.

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