Topologia e conjuntos em exercícios

Considere $(x_n)_{n \in \omega}$ sequência de pontos em $\omega$, tal que $f[\{x_{n_k}: k \in \omega\}]$ é ilimitado em $\mathbb R$ para qualquer subsequência $(x_{n_k})_{k \in \omega}$. Pelo exercício existe $(x_{n_i})_{i \in \omega}$ subsequência de $(x_n)_{n \in \omega}$, tal que $x_{n_i}$ é convergente, seja $L$ o seu limite.
Note que, $f(x_{n_i})$ não converge para $f(L)$, pois $f[\{x_{n_i}: i \in \omega\}]$ é ilimitado por hipótese, o que é uma contradição, considerando que $f$ é contínua. Segue então que $\psi(\mathcal{F})$ é pseudocompacto.