Topologia e conjuntos em exercícios

Pelo resultado de um exercício anterior sabemos que para $\mathcal F$ uma família não enumerável de conjuntos finitos existem $n \in \omega$ e $\mathcal F' \subset \mathcal F$ não enumerável tais que $|F|=n$ para todo $F \in \mathcal F$. Vamos provar por indução sobre $n$ o lema do $\Delta$-sistema.

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Tome $n=1$ (note que para $n=0$ teríamos apenas o conjunto vazio), seja então $\mathcal F$ uma família não enumerável de conjuntos de um único elemento. De fato para dados $A$ e $B$ distintos devemos ter que $A \cap B = \emptyset$, pois os conjuntos são diferentes uns dos outros. Dizemos então que $\mathcal F$ forma um $\Delta$-sistema.

Vamos assumir agora que toda família não enumerável de conjuntos de $n$ elementos possui uma subfamília que forma um $\Delta$-sistema. Queremos provar que toda família $\mathcal F$ não enumerável de conjuntos de $n+1$ elementos também possui subfamília que forma um $\Delta$-sistema. Seja $\mathcal F' = \{F_\xi : \xi \in \omega_1\}$, temos duas possibilidades: existe ou não existe $a$ tal que $\mathcal A=\{ \xi : a \in F_\xi\}$ seja não enumerável.

Suponha que exista tal conjunto $\mathcal A$ não enumerável. Então podemos formar o conjunto $\mathcal F'' \subset \mathcal F'$ tal que $a \in F$ para todo $F \in \mathcal F''$. Considere então a família $\mathcal{G}=\{F\setminus\{a\}| F\in\mathcal{F}\}$. Como $G$ é uma família não enumerável de conjuntos com $n$ elementos, existe uma uma subfamília $\mathcal{G}'$ que forma um $\Delta$-sistema com raiz $\Delta$. Enfim, $\mathcal{F}'''=\{G\cup\{a\}| G\in\mathcal{G}'\}$ é uma subfamília não enumerável de $\mathcal{F}$ que forma um $\Delta$-sistema com raiz $\Delta\cup\{a\}$.

Agora, suponha que não exista $a$ tal que $\mathcal A=\{ \xi : a \in F_\xi\}$ seja não enumerável. Neste caso, seja $\xi_0\in\omega_1$. Pelo exercício temos que existe $\xi_1\in\omega_1$ tal que $F_{\xi_0}\cap F_{\gamma} = \emptyset$ para todo $\gamma\geq\xi_1$. Seja $\beta\in\omega_1$ e suponha que tenhamos $\xi_\alpha, \alpha<\beta$, definidos de tal forma que $F_{\xi_\alpha}\cap F_{\xi_{\alpha'}}=\emptyset$ quando $\alpha\neq\alpha'$. Neste caso, tome $\xi=\sup\{\xi_\alpha | \alpha<\beta\}<\omega_1$ e utilize o exercício novamente para encontrar $\xi_\beta\in\omega_1$ tal que $F_\xi\cap F_\gamma = \emptyset$ para todo $\gamma\ge\xi_\beta$. Temos assim uma subfamília $\mathcal{F}''=\{F_{\xi_\eta}\ | \eta\in\omega_1\}$ que forma de fato um $\Delta$-sistema com raiz $\Delta=\emptyset$.