Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $A=\{a_n:n\in \omega\}$ um conjunto enumerável de modo que $A \subset \omega_1$. Podemos então, para cada $a_n$, formar o conjunto $B_n =\{\beta \in \omega_1 : \beta < a_n\}$ enumerável. Suponha então que para todo $\gamma \in \omega_1$ existe $a_n \in A$ tal que $\gamma < a_n$. Deste modo podemos afirmar que $\bigcup_{n \in \omega}B_n = \omega_1$, um absurdo, pois $ \omega_1$ é não enumerável.