Topologia e conjuntos em exercícios

1 Dado $x \in A \cup B$ defina por indução:

• $s_0 = x$
• $s_{n + 1} = f(s_n)$, se $s_n \in A$
• $s_{n + 1} = g(s_n)$ se $s_n \in B$
• $s_{-(n + 1)} = f^{-1}(s_{-n})$ se $s_{-n} \in B$ e $f^{-1}(s_{-n})$ está definido
• $s_{-(n + 1)} = g^{-1}(s_{-n})$ se $s_{-n} \in A$ e $g^{-1}(s_{-n})$ está definido

Note $s_k$ pode não ser definido. Faça um desenho desta construção e tente ver os casos possíveis.

2 Seja $X$ um conjunto e seja $\mathcal P$ uma partição sobre $X$. Suponha que, para cada $P \in \mathcal P$ existam $Y_P$ conjunto e $f_P: P \to Y_P$ função bijetora. Mostre que, se $Y_P \cap Y_Q = \emptyset$ para $P \neq Q$, então existe uma função bijetora entre $X$ e $Y = \bigcup_{P \in \mathcal P} Y_P$.

3 Para cada $x \in A \cup B$, defina $S_x = \{s_z: z \in \mathbb Z\}$ como acima.

3.1 Mostre que, se existe $a \in S_x \cap S_y$, então $S_x = S_y$ (note que não necessariamente $x = y$).

3.2 Mostre que $(S_x)_{x \in A \cup B}$ forma uma partição sobre $A \cup B$.

4 Note que se definirmos para cada $S_x$ uma bijeção entre $S_x \cap A$ e $S_x \cap B$, temos que existe uma bijeção entre $A$ e $B$.

5 Seja $x \in A \cup B$ e considere $S_x$. Mostre que $f$ ou $g$ induzem uma bijeção como acima (dependendo de cada caso).

6 Mostre o teorema/Cantor-Schoroeder-Bernstein; teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein: Sejam $A$ e $B$ conjuntos tais que existem $f: A \rightarrow B$ e $g: B \rightarrow A$ injetoras. Então existe $h: A \rightarrow B$ bijetora.

7 Mostre o teorema anterior, mesmo sem supor $A$ e $B$ disjuntos. Dica Solução

8 Enuncie e prove o análogo ao teorema mas usando funções sobrejetoras em vez de injetoras.