Topologia e conjuntos em exercícios

Dado um ultrafiltro $u$, definimos $J(u)$ como o seguinte jogo entre os jogadores $Alice$ e $Beto$: a cada rodada $n \in \omega$, $Alice$ escolhe $a_n \in \omega$ maior do que a escolha anterior de $Beto$ e então $Beto$ escolhe $b_n >a_n$. Definimos os seguintes conjuntos: $$ A = \{0,1,\dots, a_0\} \cup \bigcup_{n \in \omega} \{b_{n-1}+1, b_{n-1}+2, \dots, a_n\}$$ $$ B = \bigcup_{n \in \omega} \{a_n+1,a_n+2,\dots, b_n\}$$ $Alice$ vence se $A \in u$ e $Beto$ vence se $B \in u$.
Pense que na primeira rodada $Alice$ escolhe um segmento inicial de $\omega$, e depois $Beto$ escolhe um segmento inicial dos números maiores do que a escolha de $Alice$ e assim por diante.