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Lema de Kuratowski-Zorn
Um dos axiomas que supomos sobre conjuntos é o princípio da boa ordem: todo conjunto admite uma boa ordem.
O princípio da boa ordem é equivalente ao axioma da escolha - mas nós preferimos adotar o princípio da boa ordem como axioma. O enunciado do Lema de Kuratowski-Zorn também é equivalente ao princípio da boa ordem.
Seja $X$ um conjunto ordenado por $\leq$.
- $x \in X$ é um majorante para $Y \subset X$ se, para todo $y \in Y$ temos $y \leq X$;
- $C \subset X$ é uma cadeia se todos os elementos de $C$ são comparáveis entre si;
- $x \in X$ é maximal se não existe $y \in X$ tal que $x < y$.
1 Sejam $X$ e $Y$ conjuntos. Considere $F$ o conjunto de todas as funções com domínio contido em $X$ e contradomínio $Y$. Sobre $F$, considere a ordem usual de extensão de função (isto é, $f \leq g$ se $g$ estende $f$). Mostre que se $f$ é um elemento maximal em tal ordem, então o domínio de $f$ é $X$.
O Lema do Kuratowski-Zorn é: Se $X$ é um conjunto ordenado não vazio tal que toda cadeia admite majorante, então $X$ admite elemento maximal.
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