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Bases
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal B \subset \tau$ é uma base para $X$ se, para qualquer $A$ aberto e qualquer $x \in A$, existe $B \in \mathcal B$ tal que $x \in B \subset A$.
1 Mostre que $\mathcal B = \{]a, b[: a, b \in \mathbb Q\}$ é uma base para $\mathbb R$ (com a topologia usual).Solução
2 Mostre que uma família de abertos $\mathcal B$ é uma base se, e somente se, para todo aberto $A$, existe $\mathcal B' \subset \mathcal B$ tal que $A = \bigcup_{B \in \mathcal B'} B$.
3 Mostre que $\mathbb R$ com a topologia discreta não admite uma base enumerável.
4 Mostre que se $\mathcal B$ e $\mathcal C$ são bases sendo $\mathcal B$ enumerável, então existe $\mathcal C' \subset \mathcal C$ base enumerável. Dica Solução
5 Mostre que, se $Y \subset X$ e $\mathcal B$ é uma base para $X$, então $\mathcal B' = \{B \cap Y: B \in \mathcal B\}$ é uma base para $Y$.
Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico e $x \in X$. Dizemos que $\mathcal B \subset \tau$ é uma base local para $x$ se $x \in B$ para todo $B \in \mathcal B$ e, para todo $A$ aberto tal que $x \in A$, temos que existe $B \in \mathcal B$ tal que $B \subset A$.
6 Seja $x \in \mathbb R$. Mostre que $\{]x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}[: n \in \mathbb N_{>0}\}$ é uma base local para $x$.
7 Seja $\mathcal B$ uma base. Mostre que $\mathcal B_x = \{B \in \mathcal B: x \in B\}$ é uma base local para $x$.
8 Para cada $x \in X$, seja $\mathcal B_x$ base local para $x$. Mostre que $\mathcal B = \bigcup_{x \in X} \mathcal B_x$ é uma base para $X$.
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