Vamos provar por contradição utilizando o exercício 4 e 5.

Sabemos que $P$ é ccc. Seja $\mathcal {E} = \{E_g: g: \omega \rightarrow \omega \}$ uma família de densos em $P$. Como cada $g: \omega \rightarrow \omega$ define um subconjunto de $\omega \times \omega$, segue que $|\mathcal {E}| = |\mathcal {P}(\omega \times \omega)| = \mathfrak {c}$.

Suponha MA$_{\mathfrak c}$. Então existe $F$ filtro sobre $P$ tal que $F \cap E_g \neq \emptyset$ para todo $E_g \in \mathcal {E}$. Disso segue que $F \cap D_n = \emptyset$, $\forall n \in \omega$. Sabemos que $D_n$ é denso em $P$. Tome $f \in F$ e $h \in D_n$ tal que $h \supset f$. Como $f \in D_n$, então $F \cap D_n \neq \emptyset$, um absurdo. Portanto MA$_{\mathfrak c}$ é falso para $(P, \supset)$.