Suponha que para todo $n \in \omega$ o conjunto $F_n = \{F \in \mathcal F: |F|=n \}$ seja enumerável. Note que como $\mathcal F$ é composto de conjunto finitos deveríamos ter que $\bigcup_{n \in \omega}F_n = \mathcal F$. Mas $\mathcal F$ é não enumerável e a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável, um absurdo. Portanto concluímos que existe $n \in \omega$ e $\mathcal F' \subset \mathcal F$ não enumerável tal que $|F|=n$ para todo $F \in \mathcal F'$.