Topologia e conjuntos em exercícios

===== Sequências de Cauchy e completude =====

<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer saber os resultados da [[lista:sequencias|lista de sequências]].
</WRAP>

<WRAP info>
Seja $(X, d)$ espaço métrico. Dizemos que uma sequência $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ é uma {{entry>sequência/Cauchy; sequência de Cauchy}} se, para todo $\varepsilon \in \mathbb R_{>0}$ existe $n_0 \in \mathbb N$ tal que, se $m, n \geq n_0$ então $d(x_n, x_m) < \varepsilon$. 
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que toda sequência convergente é uma sequência de Cauchy.<wrap help>[[solucao: convergent-> cauchy|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que se $(x_n)_{n \in \omega}$ é uma sequência de Cauchy, então $\{x_n: n \in \omega\}$ é um conjunto limitado.

**~~#~~** Joãozinho acha que a definição de sequência de Cauchy poderia ser: para todo $\varepsilon > 0$, existe $n_0$ tal que, para todo $n > n_0$, $d(x_n, x_{n + 1}) < \varepsilon$. Joãozinho está certo?

**~~#~~** Considere $X = ]0, +\infty[$ com a métrica usual. Mostre que $(\frac{1}{n +1})_{n \in \mathbb N}$ é uma sequência de Cauchy que não é convergente.

**~~#~~** Mostre que toda subsequência de uma sequência de Cauchy é uma sequência de Cauchy.

**~~#~~** Seja $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ sequência de Cauchy. Mostre que, se $(x_{n_k})_{k \in \mathbb N}$ é uma subsequência convergente para $x$, então $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ é também uma sequência convergente para $x$.<wrap help>[[solucao: exer4- cauchy|Solução]]</wrap> 

<WRAP info>
Seja $(X, d)$ espaço métrico. Dizemos que $X$ é {{entry>espaço/completo; completo}} se toda sequência de Cauchy é convergente.
</WRAP>

**~~#~~** Seja $(X, d)$ métrico. Seja $F \subset X$ subespaço completo. Mostre que $F$ é fechado.<wrap help>[[solucao: completo->fechado|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $(X, d)$ completo. Mostre que se $F \subset X$ é fechado, então $F$ é completo.

**~~#~~** Mostre que $(X,d)$ é completo se, e somente se, toda intersecção de fechados $(F_n)$ não vazios tais que:

  * Eles são encaixados : $F_{n+1} \subset F_{n}$.
  * Eles encolhem até quase desaparecer: $\mathrm{diam}(F_n) \to 0$.

é um unitário $\bigcap F_n = \{x\}$.
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