Alexandre N. de Carvalho

1.

(Valor 2,5) Encontre todos os pontos de máximo e de mínimo da função f(x,y)=x²+y²-x-y sobre a região $R=\{(x,y)\in\mathbb R^2;x\geq 0,\, -x\leq y\leq x,x^2+y^2\leq1\}.$

Solução: Observe que a região descrita acima (veja figura) é compacta (fechada e limitada).

Como a função f é contínua (é um polinômio) e R é compacta, temos que f assume o seu máximo e o seu mínimo em R. Neste caso, o processo para encontrar os pontos de máximo e mínimo é o seguinte: Primeiramente procuramos os pontos críticos da fque estão na região R e determinamos o valor de fnestes pontos, em seguida restringimos f à fronteira de Re encontramos os valores extremos da f na fronteira. Por fim, entre todos os valores extremos (interiores e de fronteira) determinamos o maior e o menor valor de f em R.

Pontos Críticos de f em R. Os pontos críticos da f são as soluções da equação

$$\nabla f(x)=(2x-1,2y-1)=0.$$

Isto nos dá (x,y)=(1/2,1/2). Note que este ponto pertence á fronteira de R e portanto basta analisar os valores da função sobre a fronteira de R.

Valores de f na fronteira de R. Note que a fronteira de R é a união dos segmentos $\{ (x,x), \ 0\leq x\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\}$, $\{ (x,-x), \ 0\leq x \leq\frac{\sqrt{2}}{2}\}$ com o arco de circunferência $\{({\rmcos}(t),\,{\rm sen}\,(t)),\ -\frac{\pi}{4}\leq t \leq \frac{\pi}{4}\}$. Vamos analisar a função f em cada uma das partes da fronteira acima:

• O segmento $S_1=\{(x,x),\ 0\leq x \leq\frac{\sqrt{2}}{2}\}$: Neste caso g(x)=f(x,x)= 2x²-2x e g'(x)= 2(2x-1) e $g'(\frac{1}{2})=0$. Assim a função g é crescente (g'(x)>0) se $x>\frac{1}{2}$ e decrescente (g'(x)<0) se $x<\frac{1}{2}$. Segue que g assume o valor mínimo em $x=\frac{1}{2}$ que pertence a S₁. Isto garante que o menor valor de f em S₁ é $f(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) =-\frac{1}{2}$ e o valor máximo da g é um dos pontos extremos do intervalo de definição, isto é, x=0 ou $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, como g(0)=0 e $g(\frac{\sqrt{2}}{2}) =1-\sqrt{2}<0$, temos que o maior valor de f em S₁ é 0=g(0) =f(0,0).
• O segmento $S_2=\{(x,-x),\ 0\leq x \leq\frac{\sqrt{2}}{2}\}$: Neste caso h(x)=f(x,-x)= 2x² que tem um mínimo em x=0. Logo o valor mínimo assumido por fem S₂ é f(0,0)=0 e o valor máximo assumido por fem S₂ é $h(\frac{\sqrt{2}}{2})=f(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})=1$.
• O arco de circunferência $A=\{({\rm cos}(t),\,{\rm sen}\,(t)),\ -\frac{\pi}{4}\leq t \leq \frac{\pi}{4}\}$. Neste caso $r(t)=f({\rm cos}(t),\,{\rm sen}\,(t))=1-{\rm cos}(t)-\,{\rm sen}\,(t)$ e $r'(t)={\rm sen}(t)-\cos(t)=0$ nos dá $t=\frac{\pi}{4}$ que corresponde a um extremo do arco A. O outro extremo corresponde a $t=-\frac{\pi}{4}$. Como os extremos do arco A já foram considerados quando tratamos dos segmentos S₁ e S₂ podemos desconsiderá-los.

Finalmente concluímos que o ponto de máximo [mínimo] da função f em R é $(x,y)=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$[$(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$] e o valor máximo [mínimo] da f em R é 1 [$-\frac{1}{2}$].

2.

(Valor 2,5) Uma partícula descreve uma trajetória circular que pode ser descrita pela intersecção da esfera x²+y²+z²=9 e do plano x+y+z=3. Determine os pontos sobre essa trajetória em que a partícula se encontrará mais próxima e mais afastada de uma outra partícula que se encontra no ponto (1,1,5/2).

Solução: Trata-se de um problema de máximos e mínimos da função distância do ponto (x,y,z) ao ponto (1,1,5/2) sujeita aos vínculos F(x,y,z)=x²+y²+z²-9=0 e G(x,y,z)=x+y+z-3=0. Os pontos de máximo e mínimo da função distância são os mesmos quando consideramos o quadrado desta função. Desta forma a função que utilizaremos para procurar os pontos onde uma partícula está mais próxima e mais afastada da outra é f(x,y,z)=(x-1)²+(y-1)²+(z-5/2)². Sabemos que os candidatos a extremos de f sujeita aos vínculos F=G=0 são as soluções do sistema

$$\begin{array}{l}\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla F(x,y,z) + \mu \nabla G(x,y,z),\\F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0\end{array}$$

ou seja

$$\begin{array}{l}2x(1-\lambda)-2=\mu\\2y(1-\lambda)-2=\mu\\2z(1-\lambda)-5=\mu\\x^2+y^2+z^2=9\\x+y+z=3.\end{array}$$ (1)

Somando as três primeiras equações, obtemos

$$2(x+y+z)(1-\lambda)-9=3\mu,$$

utilizando agora a última equação, temos $2(1-\lambda)=\mu+3$. Substituindo em (1) temos

$$\begin{array}{l}x(\mu+3)-2=\mu \Rightarrow x = \frac{\mu+2}{......ghtarrow z = \frac{\mu+5}{\mu+3 }\\x^2+y^2+z^2=3.\end{array}$$

Note que uma solução do sistema acima deve satisfazer $\mu+3\neq0$. Substituindo as três primeiras equações na quarta, temos:

$$2\left(\frac{\mu+2}{\mu+3} \right)^2+\left(\frac{\mu+5}{\mu+3}\right)^2=9$$

ou seja $3\mu^2 + 18\mu + 33=9(\mu^2 +6\mu + 9)$ ou $\mu^2+ 6\mu+8=0$ e portanto $\mu=-2$ ou $\mu =-4$. Desta forma ou (x,y,z)=(0,0,3) ou (2,2,-1) e f(0,0,3)=9/4 enquanto que f(2,2,-1)=57/4. Isto nos dá que (0,0,3) é o ponto da trajetória mais próximo de (1,1,5/2) e (2,2,-1) é o ponto da trajetória mais distante de (1,1,5/2) as distâncias são 3/2 e $\sqrt{57}/2$, respectivamente.

3.

(Valor 1,5) Mostre que a equação $e^w-\,{\rm sen}\,{uv}+w=0$ define localmente w=g(u,v) como uma função com derivadas parciais contínuas de modo que $g(1,\pi/2)=0.$ Encontre o plano tangente ao gráfico de g no ponto $(1,\pi/2).$

Solução: Basta verificar que se $f(u,v,w)=e^w-\,{\rm sen}\,{uv}+w$ então f é de classe C¹, $f(1,\pi/2,0)=0$ e $f_w(1,\pi/2,0)=2\neq 0$. Então do Teorema das Funções Implícitas f(u,v,w)=0 define implicitamente uma função de classe C¹ w=g(u,v) tal que f(u,v,g(u,v))=0 em uma vizinhança de $(u,v)=(1,\pi/2)$ com

$$\begin{array}{l}g(1,\pi/2)=0, \\ \\g_u(1,\pi/2)= -\frac{f_......i/2,0)}{f_w(1,\pi/2,0)}=-\frac{-1\cos{\pi/2}}{2}=0\end{array}$$

Desta forma o plano tangente é o plano de equação w=0.

4.

(Valor 2,0) Considere a transformação $T:{\mathbb R}^3\rightarrow{\mathbb R}^2$ dada por

$$T(x,y,\theta)=(x\cos{\theta}+y\,{\rm sen}\,{\theta}\, ,\,y\cos\theta-x\,{\rm sen}\,\theta).$$

(a)

Encontre a matriz jacobiana de T.

(b)

Sejam $x_0,y_0\in\mathbb R$ tais que $(x_0,y_0)\neq (0,0).$ Mostre que a imagem pela transformação T da reta $\{(x_0,y_0,\theta);\theta\in{\mathbb R}\}$ é um círculo centrado na origem. Qual é o raio desse círculo?

Solução: a) Sabemos que se $T(x,y,\theta)=(P(x,y,\theta),Q(x,y,\theta))$ com $P,Q:{\mathbb R}^3 \to {\mathbb R}$, então $$J_T(x,y,\theta)=\left[\begin{matrix}P_x(x,y,\theta) & P_y(......) & Q_y(x,y,\theta) & Q_\theta(x,y,\theta)\end{matrix}\right]$$

No caso do exercício $P(x,y,\theta)=x\cos{\theta}+y\hbox{sen}{\theta}$ e $Q(x,y,\theta)=y\cos{\theta}-x\hbox{sen}{\theta}$ então

$$J_T(x,y,\theta)=\left[\begin{matrix}\cos{\theta} & \hbox{s......a} & -y\hbox{sen}{\theta} - x\cos{\theta}\end{matrix}\right]$$

b) Para verificar que a imagem do conjunto $C=\{(x_0,y_0,\theta);\theta\in{\mathbb R}\}$ é uma circunferência centrada na origem fazemos $P(x_0,y_0,\theta)^2 + Q(x_0,y_0,\theta)^2$ e verificamos que o resultado é um número positivo independente de $\theta$. De fato:

$$P(x_0,y_0,\theta)^2 + Q(x_0,y_0,\theta)^2=(x_0\cos{\theta}+y......ta})^2+(y_0\cos{\theta}-x_0\hbox{sen}{\theta})^2=x_0^2+y_0^2.$$

Disto concluímos que a imagem C é uma circunferência centrada na origem com raio $r=(x_0^2+y_0^2)^{\frac{1}{2}}$.

5.

(Valor 1,5) Sejam $A\subset\mathbb R^2$ um conjunto aberto e $g:A\rightarrow \mathbb R$ uma função de classe C² tal que o determinante da sua matriz hessiana seja diferente de zero em A. Mostre que um ponto $P\in A$ é ponto crítico de $f=\vert\vert\nabla g\vert\vert^2$ se e somente se P é ponto crítico de g. Em caso afirmativo, isto é, quando P for um ponto crítico de g, qual é o tipo de ponto crítico de f: máximo local, mínimo local ou sela?

Solução: Os pontos críticos de fsão as soluções da equação $\nabla f(x,y)=0$. Então, como f(x,y)= g_x(x,y)²+g_y(x,y)², temos

$$\begin{array}{rl}\nabla f(x,y)\!\!\!\!&=(f_x(x,y),f_y(x,y))\......atrix}g_x(x,y)\\ g_y(x,y)\end{matrix}\right]=(0,0)\end{array}$$

e como o determinante da matriz hessiana é diferente de zero, isto é,

$$\det\left[\begin{matrix}g_{xx}(x,y) & g_{xy}(x,y)\\g_{xy}(x,y) & g_{yy}(x,y)\end{matrix}\right] \neq 0,$$

temos que

$$\nabla f(x,y)=(0,0) \iff \nabla g(x,y)=(g_x(x,y),g_y(x,y))=(0,0).$$

Isto mostra que (x,y) é um ponto crítico de f se e somente se (x,y) é um ponto crítico de g.

Se (x₀,y₀) é um ponto crítico de g então ele é um ponto de mínimo global de f já que $f(x_0,y_0)=\Vert\nabla g(x_0,y_0)\Vert^2=0$ e $f(x,y)=\Vert\nablag(x,y)\Vert^2\geq 0, \ \forall (x,y)\in {\mathbb R}^2$.

2000-04-26