Livro de Folland Capítulo 3

Definimos medidas com sinal e provamos o teorema de Hahn-Jordan.

Provamos o teorema de decomposição de Lebesgue-Radon-Nikodym: Dada $\nu$ com sinal e $\mu$ medida positiva dizemos $\nu \ll \mu$ se para todo conjunto de medida $\mu (A) =0$ então $\nu(A) =0.$

Dizemos $\mu, \nu$ duas medidas com sinal são singulares $\mu \perp \nu$ se existirem $E, F, E \cup F = X, E \cap F =0$ e $E$ é um conjunto nulo para $\mu$ e $F$ é nulo para $\nu.$ Observem que um conjunto é nulo se todos seus subconjuntos tem medida (com sinal) zero.

Se $\nu \ll \mu$ onde $\nu$ é sigma-finita e com sinal e $\mu, \lambda$ medidas sigma-finita tais que $\mu \ll \lambda.$ Então

• Se $g \in L^1(\nu)$ então $g \frac{d \nu}{d \mu} \in L^1(\mu)$ e $\int g d\nu = \int g\frac{d \nu}{d \mu} d\mu. $
• Temos que $\nu \ll \lambda $ e $$ \frac{d \nu}{d \lambda} = \frac{d \nu}{d \mu} \frac{d \mu}{d \lambda}$$