pela propriedade de Lindelof de $\mathbb{R}^d$ sabemos que se $\{C_i\}_{i\in \mathcal{I}}$ é uma cobertura (o conjunto de índice $\mathcal{I}$ em princípio pode ser não-enumerável) por abertos de um conjunto aberto $U \subset \mathbb{R}^d$ então existe uma sub-cobertura enumerável $\{C_n\}_{n=1}^{\infty}$ de $U.$

Entretanto se a cobertura for por conjuntos fechados, claramente não existe , em geral, como extraír uma sub-cobertura enumerável. Por exemplo cobertura por pontos!

Por outro lado, podemos perguntar se $C_i$ tiverem interior não vazio será que podemos ter uma sub-cobertura enumerável. É fácil ver que também existem contraexemplos.

Porém, para cubos fechados podemos provar existência de cobertura enumerável. Para facilitar começamos a considere uma cobertura de $\mathbb{R}$ por intervalos $[a_i, b_i), i \in \mathbb{I}$ cobrindo $\mathbb{R}.$ Afirmamos que existe uma sub-cobertura enumerável. Por efeito, considere $\bigcup_{i \in \mathcal{I}}(a_i, b_i)$ que é um conjunto aberto e tem propriedade de Lindelof e portanto existe uma subcobertura enumerável. Agora basta mostrar que $\mathbb{R} \setminus \bigcup_{i \in \mathcal{I}}(a_i, b_i) $ é enumerável. Para mostrar isto, seja $x \in \mathbb{R} \setminus \bigcup_{i \in \mathcal{I}}(a_i, b_i) $. Enão $x = a_i$ para algum $i \in \mathcal{I}.$ podemos definir $x \rightarrow q_x \in \mathbb{Q}$ onde $q_x$ é um racional no intervalo $(a_i, b_i)$. É fácil verificar que $x \rightarrow q_x$ é injetora!

Agora use um argumento similar para mostrar que se $\mathbb{R} = \bigcup_{i \in \mathcal{I}} [a_i, b_i]$ é uma união (não-enumerável) de intervalos fechados não-degenerados (não reduzido a um ponto) então existe uma subcobertura enumerável destes intervalos. Basta considerar $\mathbb{R} \setminus \bigcup_{i \in \mathcal{I}}(a_i, b_i) $ e extrair uma sub-cobertura enumerável e em seguida mostrar que $\mathbb{R} \setminus \mathbb{R} \setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}(a_n, b_n) $ é enumerável com argumento similar acima, uma vez com pontos extremos esquerdos e uma vez pontos extremos direitos.

Generalize o mesmo resultado para caixas fechadas em $\mathbb{R}^d.$ Prove que se $U \subset \mathbb{R}^d$ um conjunto aberto e $U= \mathbb{R} \setminus \bigcup_{i \in \mathcal{I}} C_i $ onde $C_i$ é uma caixa fechada. então existe uma sub-cobertura enumerável de $U$ destas caixas fechadas.