Fubini-Tonelli

Sejam $(X, \mathcal{M}, \mu), (Y, \mathcal{N}, \nu)$ dois espaço $\sigma-$finitos.

• (Tonelli) Se $f \geq 0$ e mensurável com respeito a sigma-álgebra de produto, então $$ \int f d (\mu \times \nu) = \int \int f(x, y) d\nu(y) d \mu(x) = \int \int f(x, y) d\mu(x) d \nu(y)$$
• (Fubini) Se $f \in L^1(\mu \times \nu)$ então $f_x \in L^1(\nu)$ para $\mu-$qtp $x.$ temos resultado similar para $f_y.$ Além disso, $$ \int f d (\mu \times \nu) = \int \int f(x, y) d\nu(y) d \mu(x) = \int \int f(x, y) d\mu(x) d \nu(y)$$

Seja $X= Y = \mathbb{N} = \{1, 2, \cdots\}$ munidos de $\sigma-$álgebra trivial de todos os sub-conjuntos. Sejam $\mu_1=\mu_2$ medida de contagem. Para $m \geq 1$ defina $f(m, m) = 1, f(m+1, m)=-1$ e $f(m, n)=0$ para outros valores. Observe que $$ \sum_m \sum_n f(m, n) = 1 \neq 0= \sum_{n} \sum_m f(m, n) $$

Sejam $X=Y=[0, 1]$ com $\sigma-$álgebras de Borel e $\mu=Leb$, $\nu$ medida de contágem (não é $\sigma-$finita). Seja $D = \{(x, x)\}$ o diagonal. então: $$\int 1_{D} d (\mu \times \nu) = \mu \times \nu(D) = \infty, \int\int 1_D d\nu d\mu = 1,\int\int 1_D d\mu d\nu =0. $$

entretanto se $(X, \mathcal{M}, \mu)$ é munido de uma medida arbitrária e $Y$ é enumerável e $\nu$ medida de contágem, então o Teorema Fubini-Tonelli é válido. Essa versão do teorema é muito utilizado na teoria de probabilidade.