Aproximando valor de uma função usando aproximação linear dela, possui erro! Quantos erramos quando usamos aproximação linear? Existem aproximações de segundo grau? aproximações melhores?

Vamos começar pelas aproximaçõe smais grosseiras: Por exemplo para calcular $ \sqrt{101} $ que tal usar apenas a continuidade da função aproximar o valor da função $ f(x)=\sqrt{x} $ no ponto $ 101 $ com seu valor no ponto $ 100. $ Assim teremos

$ \sqrt{101} = f(100+1) \sim f(100) = 10. $

Bem, essa aproximação até pode ser satisfatória dependendo do problema.

Vamos usar a diferenciabilidade da função $ f $ e teorema do valor médio (TVM) para achar uma estimativa do erro. Pelo TVM, existe $ c \in (100, 101) $ tal que

$ f^{'}(c) = \frac{\sqrt{101} - \sqrt{100}}{101 -100} $

portanto o erro de aproximação é igual a $ \frac{1}{2\sqrt{c}} $. Não sabemos o valor do $ c $, porém temos estimativa $ c > 100 $ e assim concluímos seguinte estimativa sobre erro de aproximação:

Erro de aproximação $ < \frac{1}{2 \sqrt{100}} = 0,05.$ 

Agora vamos usar aproximação linear para calcular $ \sqrt{101}. $

Lembrando que a prximação linear da função $ f $ ao redor do ponto $ x=a $ é dada por seguinte  função linear:

$ L(x) = f(a) + (x-a)f^{'}(a). $

Então, $ \sqrt{101} \sim f(100)+ (101-100) \frac{1}{2 \sqrt{100}} = 10,05. $

O valor de $ \sqrt{101} $ é aproximadamente $ 10,05. $ Como estimar o erro desta aproximação? Será que essa aproximação é melhor do que anterior? SIM.

Antes de responder rigorosamente, vamos olhar os gráficos de duas funções e suas aproximações lineares, supondo que a reta tangente no ponto $ A $ coincide. Assim a aproximação linear de $ f, g $ é a mesma função linear.

Podemos visualizar que aproximação linear é melhor no caso da  função $ f $. Isto tem a ver com a segunda derivada no ponto $ x=a. $ Pense!

De fato temos:

Teorema: Seja $ f: S \rightarrow \mathbb{R} $ diferenciável (duas vezes) num intervalo com ponto $ a $ no seu interior. Então, se $ a, a+h $ pertencem a este intervalo, existe $ c $ entre $ a+h, a $ tal que

$ f(a+h) - (f(a) + f^{'}(a)h) = \frac{1}{2} f^{''}(c)h^2.  $

isto é, o erro de aproximação linear é dada por $ \frac{1}{2} f^{''}(c)h^2.  $

Usando este teorema o erro de aproximação linear de $ \sqrt{101} \sim 10,05 $ é igual a $ \frac{1}{2} \frac{-1}{4 \sqrt{c^3}} (101-100)^2 = \frac{-1}{4\sqrt{c^3}}  $

Novamente sabendo que $ c > 100 $ concluímos que o valor absoluto do erro é menor do que $ \frac{1}{8000} $.

Para demonstrar o Teorema, vamos provar uma adaptação de Teorema de Rolle para segunda derivada e também uma adaptação do TVM para segunda derivada.

Demonstração: apenas aplicando duas vezes teorema de Rolle usual: Primeiramente achamos $ c_1 \in (a,b) $ tal que $ f^{'}(c_1)=0 $ e agora novamente aplicando teorema de Rolle para função $ f^{'} $, sendo que $ f^{'}(a)=f^{'}(c_1)=0 $ concluímos que existe $ c \in (a, c_1) $ tal que $ f^{''}(c)=0. $

Demonstração, usando Teorema de Rolle adaptado:

Primeiramente afirmamos que existe uma função poliomial de grau 2, $ \phi $ tal que

$ f(a)=\phi(a), f(b)=\phi(b) $ e $ f^{'}(a)=\phi^{'}(a). $

Observe que se acharmos tal $ \phi $ então se definirmos uma nova função $ g= f - \phi $ temos

$ g(a)=g(b)=g^{'}(a)=0. $

A demonstração da afirmação sobre existência de uma função como $ \phi $ é um exercício ao cargo de leitor. Mostrem que existe

$ \phi(x) = A + B(x-a) + C(x-a)^2 $ onde

$ A= f(a), B= f^{'}(a) $ e $ C = \frac{f(b)- (f(a) + f^{'}(a) (b-a) )}{(b-a)^2}. $

Finalmente, aplicando Teorema de Rolle adaptado para $ g = f - \phi $ (observe que satisfaz as hipóteses) temos que existe $ c \in (a, b) $ tal que $ g^{''}(c)=0. $ Assim,

$ g^{''}(c) = f^{''}(c) - 2C=0 $ e portanto

$ f^{''}(c)= 2 \frac{f(b)- (f(a) + f^{'}(a) (b-a) )}{(b-a)^2}   $

que é exatamente o que queríamos provar.

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