Aproximando valor de uma função usando aproximação linear dela, possui erro! Quantos erramos quando usamos aproximação linear? Existem aproximações de segundo grau? aproximações melhores?

Vamos começar pelas aproximaçõe smais grosseiras: Por exemplo para calcular $\sqrt{101}$ que tal usar apenas a continuidade da função aproximar o valor da função $f(x)=\sqrt{x}$ no ponto $101$ com seu valor no ponto $100.$ Assim teremos

$\sqrt{101} = f(100+1) \sim f(100) = 10.$

Bem, essa aproximação até pode ser satisfatória dependendo do problema.

Vamos usar a diferenciabilidade da função $f$ e teorema do valor médio (TVM) para achar uma estimativa do erro. Pelo TVM, existe $c \in (100, 101)$ tal que

$f^{'}(c) = \frac{\sqrt{101} - \sqrt{100}}{101 -100}$

portanto o erro de aproximação é igual a $\frac{1}{2\sqrt{c}}$. Não sabemos o valor do $c$, porém temos estimativa $c > 100$ e assim concluímos seguinte estimativa sobre erro de aproximação:

Erro de aproximação $< \frac{1}{2 \sqrt{100}} = 0,05.$ 

Agora vamos usar aproximação linear para calcular $\sqrt{101}.$

Lembrando que a prximação linear da função $f$ ao redor do ponto $x=a$ é dada por seguinte  função linear:

$L(x) = f(a) + (x-a)f^{'}(a).$

Então, $\sqrt{101} \sim f(100)+ (101-100) \frac{1}{2 \sqrt{100}} = 10,05.$

O valor de $\sqrt{101}$ é aproximadamente $10,05.$ Como estimar o erro desta aproximação? Será que essa aproximação é melhor do que anterior? SIM.

Antes de responder rigorosamente, vamos olhar os gráficos de duas funções e suas aproximações lineares, supondo que a reta tangente no ponto $A$ coincide. Assim a aproximação linear de $f, g$ é a mesma função linear.

Podemos visualizar que aproximação linear é melhor no caso da  função $f$. Isto tem a ver com a segunda derivada no ponto $x=a.$ Pense!

De fato temos:

Teorema: Seja $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciável (duas vezes) num intervalo com ponto $a$ no seu interior. Então, se $a, a+h$ pertencem a este intervalo, existe $c$ entre $a+h, a$ tal que

$f(a+h) - (f(a) + f^{'}(a)h) = \frac{1}{2} f^{''}(c)h^2.$

isto é, o erro de aproximação linear é dada por $\frac{1}{2} f^{''}(c)h^2.$

Usando este teorema o erro de aproximação linear de $\sqrt{101} \sim 10,05$ é igual a $\frac{1}{2} \frac{-1}{4 \sqrt{c^3}} (101-100)^2 = \frac{-1}{4\sqrt{c^3}}$

Novamente sabendo que $c > 100$ concluímos que o valor absoluto do erro é menor do que $\frac{1}{8000}$.

Para demonstrar o Teorema, vamos provar uma adaptação de Teorema de Rolle para segunda derivada e também uma adaptação do TVM para segunda derivada.

Demonstração: apenas aplicando duas vezes teorema de Rolle usual: Primeiramente achamos $c_1 \in (a,b)$ tal que $f^{'}(c_1)=0$ e agora novamente aplicando teorema de Rolle para função $f^{'}$, sendo que $f^{'}(a)=f^{'}(c_1)=0$ concluímos que existe $c \in (a, c_1)$ tal que $f^{''}(c)=0.$

Demonstração, usando Teorema de Rolle adaptado:

Primeiramente afirmamos que existe uma função poliomial de grau 2, $\phi$ tal que

$f(a)=\phi(a), f(b)=\phi(b)$ e $f^{'}(a)=\phi^{'}(a).$

Observe que se acharmos tal $\phi$ então se definirmos uma nova função $g= f - \phi$ temos

$g(a)=g(b)=g^{'}(a)=0.$

A demonstração da afirmação sobre existência de uma função como $\phi$ é um exercício ao cargo de leitor. Mostrem que existe

$\phi(x) = A + B(x-a) + C(x-a)^2$ onde

$A= f(a), B= f^{'}(a)$ e $C = \frac{f(b)- (f(a) + f^{'}(a) (b-a) )}{(b-a)^2}.$

Finalmente, aplicando Teorema de Rolle adaptado para $g = f - \phi$ (observe que satisfaz as hipóteses) temos que existe $c \in (a, b)$ tal que $g^{''}(c)=0.$ Assim,

$g^{''}(c) = f^{''}(c) - 2C=0$ e portanto

$f^{''}(c)= 2 \frac{f(b)- (f(a) + f^{'}(a) (b-a) )}{(b-a)^2}$

que é exatamente o que queríamos provar.

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