Considere $C_{\delta} = \{ x \in [a, b], |f^{'}(x)| < \delta \}.$ Pela continuidade da $f^{'}$ concluimos que $C_{\delta}$ é um conjunto aberto e portanto pode ser escrito como uma união enumerável de intervalos disjuntos $I_{k} \subset [0, 1].$ Seja $C$ o conjunto crítico e $f(C)$ o conjunto dos valores críticos.

Observem que $|f(I_k)| \leq \delta |I_k|$ (usando teorema valor médio). Temos que $f(C) \subset \cup_{k} f(I_k)$. Já que $I_k$ são conjuntos disjuntos $\sum_k |I_k| < 1$: $$ |\cup_{k} f(I_k) | \leq \delta \sum_k |I_k| \leq \delta. $$