Função de Weierstrass: Vamos apresentar um exemplo de uma função que é contínua, porém não é diferenciável em nenhum ponto. A função desejada vai ser definida por uma serie convergente uniformemente (usando teste M de Weierstrass) e será contínua por ser limite uniforme de funções contínuas. Porém não tem derivada em nenhum ponto. Este detalhe de não ter derivada em nenhum ponto é delicado e precisa de uma demonstração minuciosa que apresentamos no video de uma forma sucinta e intuitiva.

Portanto é hora de rever o uso da palavra patológica!

Definição: Seja $R \subset C^0([a, b])$ um subconjunto de espaço de funções contínuas munido com métrica vindo da norma supremo. $R$ é chamado residual se $R$ contém uma interseção enumerável de conjuntos abertos e densos.

Essa definição é para qualquer espaço topológico. Porém destacamos o seguinte resultado nos espaços métricos completos:

E agora vem um choque de realidade:

Para provar, suponhamos $a=0, b=1$, definimos $$E_n := \{ f \in C^0([0, 1]) : \exists x \in [0, 1-\frac{1}{n}] \quad t.q \quad \forall h \in (0, 1-x) : |\frac{f(x+h)-f(x)}{h}| \leq n\}$$ Passos da prova:

• A. Toda função em $C^0([0,1]) \setminus \cup_{n=1}^{\infty} E_n$ não é diferenciávle em nenhum ponto.
• B. Mostrar que $C^0([0,1]) \setminus \cup_{n=1}^{\infty} E_n$ é residual.

Para demonstrar (B) usamos seguintes passos:

• C. Para todo $n$ mostramos que $E_n$ é fechado: Precisamos tomar uma sequência $f_k \rightarrow f$ uniformemente e $f_k \in E_n$ e concluir que $f \in E_n.$
• D. Mostramos que $E_n$ é nunca denso, i.e o fecho de $E_n$ não contem nenhum aberto.

Para demonstrar que $E_n$ é nunca denso utilizamos seguintes passos:

• E. $\mathcal{P}([0,1])$, o conjunto de funções linear por pedaços contínuas é um conjunto denso em $C^0([0, 1]).$
• F. Para todo $g \in \mathcal{P}([0, 1])$ e $\epsilon > 0$ arbitrário existe $h \in C^{0}([0, 1]) \setminus E_n$ tal que $\|g -h\|_{C^0} \leq \epsilon.$

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