Vamos escrever a fórmula de mudança de variável para integrais definidas. Para simplificar vamos assumir que a função $  f   $ assume apenas valores não negativos e assim interpretamos $  \int_{a}^{b} f(x) dx   $ como área abaixo do gráfico da função.

Suponhamos que $  \phi   $ uma função injetiva e diferenciável que transforma o intervalo $  [\alpha, \beta]   $ em intervalo $  [a, b]   $ ou $  [b, a]   $, dependendo de $  a<b   $ ou $  b < a.   $

Quando $  \phi   $ é estritamente crescente $  \phi([\alpha, \beta]) = [a, b]   $ e quando é estritamente decrescente $  \phi([\alpha, \beta]) = [b, a].   $ (em ambos os casos $  \phi(\alpha)=a, \phi(\beta)=b.   $ )

Observe que a altura do gráfico da função $  f\circ\phi   $ no ponto $  t   $ é a mesma que do gráfico da função $  f   $ no ponto $  \phi(t).   $ temos uma correspondência 1-1 entre segmentos verticais abaixo do gráfico da função $  f\circ \phi   $ no intervalo base $  [\alpha, \beta]   $ e segmentos verticais abaixo do gráfico da $  f   $ no intervalo $  [a, b].   $ Porém não podemos afirmar (ingenuamente) que $  \int_{\alpha}^{\beta} f \circ \phi = \int_{a}^{b} f.   $

De fato, a fórmula de mudança de variável diz:

$  \int_{\alpha}^{\beta} (f \circ \phi). \phi^{'} = \int_{a}^{b} f.$

Observe que apesar de ter mesmas alturas, a base das regiões que estamos comparando tem comprimentos diferentes e ai entre o termo $  \phi^{'}   $ para compensar!

Por exemplo, se $  0 < \phi^{'}(t) < 1   $ então um intervalo pequeno e torno de $  t   $ será transformada (pela ação de $  \phi   $) a um intervalo ainda menor em torno de $  \phi(t)   $. Multiplicando a altura por $  \phi^{'}(t)   $ diminuímos a altura para ter mesma área. vamos ver nos exemplos, um pouco melhor:

<color #ed1c24>Exemplo:</color> Considere função constante $  f(x)=1   $ e $  \phi: [0,2] \rightarrow [0,4]   $ definida por $  \phi(x)=x^2.   $ Já que $  f   $ é constante

$  \int_{0}^{4} f(x)dx = 4   $ e $  \int_{0}^{2} f(\phi(t)) dt =2.   $

Observe que $  \phi^{'}(t)=2t.   $ Quando $  t \in [0, 1/2]   $ temos $  0 \leq \phi^{'}(t) \leq 1   $ e portanto $  \phi   $ contrai o intervalo $  [0, 1/2]   $ (lembre do teorema de valor médio: se $  t_1, t_2 \in [0, 1/2]   $ então $  |\phi(t_1) - \phi(t_2)| \leq |t_1-t_2|   $ e todo o intervalo $  [0,1/2]   $ será transformado em intervalo $  [0, 1/4].   $)

A área abaixo do gráfico de $  f   $ no intervalo $  [0, 1/4]   $ é $  1/2   $ da área abaixo do gráfico de $  f \circ \phi   $ no intervalo $  [0, 1/2]   $. Multiplicando por $  2t   $ vamos substituir essa região pela região triangular entre $  [0, 1/2]   $ que terá metade da área e coincide com $  \int_{0}^{1/4} f.  $.

Por outro lado para $  t_1, t_2 \in [1/2, 2]   $ a área do gráfico de $  f\circ \phi   $ no intervalo $  [t_1, t_2]   $ é menor do que área abaixo de $  f   $ entre $  [\phi(t_1), \phi_{t_2}]   $ e portanto multiplicando por $  2t   $ compensamos novamente.

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O que acontece quando $  \phi $ é decrescente? Neste caso, $  \phi^{'}   $ é negativo. Portanto o gráfico da função $  f\circ \phi. \phi^{'}   $ é abaixo do eixo horizontal. Aqui, $  \phi(\alpha) =a > b=\phi(\beta)   $ e portanto $  \int_{a}^{b} f(x)dx   $ é negativo também.

$  \int_{a}^{b} f(\phi(t)) \phi^{'}(t)dt = \int_{\beta}^{\alpha} f(\phi(t)). |\phi^{'}(t)| dt = \int_{a}^{b} f(x)dx.   $

Vamos dar um exemplo onde $  \phi   $ não é injetiva. A formula de mudança de variável vale para estes casos também.

Seja $  f: [1,4] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=1   $ e $  \phi: [-1,2] \rightarrow \mathbb{R}, \phi(t)=t^2.  $ Suponhamos $  \alpha=-1, \beta=2, a=1, b=4.   $

temos

$  \int_{1}^{4} f(x)dx=3, \int_{-1}^{2} f(\phi(t)) \phi^{'}(t) dt = \int_{-1}^{2} 2t dt =3. $

Observe pelo gráfico das funções que as integrais $  \int_{-1}^{0} 2t dt   $ e $  \int_{0}^{1} 2t dt   $ se cancelam. A primeira parte refere quando $  \phi   $ decresce e a segunda refere a parte crescente da $  \phi.  $