Operações com conjuntos e funções

Lembretes: União enumerável de conjuntos fechados é chamado um conjunto $F_{\sigma}$. Todo intervalo aberto é $F_{\sigma}$. Uma interseção enumerávle de conjuntos abertos é chamado $G_{\delta}.$ 
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Uma simples grande ideia: Função caracterísica
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$1_A$ ou $\chi_A$ é uma função real ($A$ é um subconjunto de um espaço!):
$$
1_A(x) = \begin{cases}
1  &  x \in A\\
0 &   x \notin A
\end{cases}
$$

Propriedades:
  * $1_{A\cap B} = 1_A . 1_B$
  * $1_{A^c} = 1 - 1_A = 1 + 1_A (mod-2)$
  * $1_{A \cup B} = 1_A + 1_B - 1_A. 1_B.$
  * $1_{A \Delta B} = 1_A + 1_B (mod - 2)$
  * $1_{\cup_{i=1}^{n} A_i} = \sum_{i \geq 1} 1_{A_i} - \sum_{i < j}1_{A_i \cap A_j} + \cdots + (-1)^{n-1} 1_{A_1\cap \cdots \cap A_n}$
  * $1_{\cap_{i=1}^{n} A_i} = \sum_{i \geq 1} 1_{A_i} - \sum_{i < j}1_{A_i \cup A_j} + \cdots + (-1)^{n-1} 1_{A_1\cup \cdots \cap A_n}$

Exerício (Use quinto item acima): $n$ pessoas vestidos de chapeus diferentes vão para uma festa e tiram os chapeus. Na saída cada uma tira um chapeu aleatório. Qual é a probabilidade que ninguem tire seu próprio chapeu? Qual é limite desta probabilidade quando $n$ tende ao infinito.

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Mais um elemento de análise vestido de teoria de conjuntos
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Seja $A_i$ uma sequência de subconjuntos de um espaço $X$ então
  * $\limsup (A_i) := \cap_{k=1}^{\infty} \cup_{j=k}^{\infty} A_j$ (pontos em infinitos $A_n$)
  * $\liminf (A_i) := \cup_{k=1}^{\infty} \cap_{j=k}^{\infty} A_j$ (pontos em todos exceto finitos $A_n$)
  * $\liminf(A_i) \subset \limsup(A_i)$ e quando coincidem podem dar o luxo de escrever $\lim A_i$ existe.
  * Usando funções característica, agora é possível concluir proposições similares as de analise real: 
  - Uma sequência monotona de subsconjuntos converge a união deles.
  - Se $B_i \subset A_i$ e $A_i$ converge, então $B_i$ também converge.
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<color #ed1c24>Exercício: Mostre que $\limsup A_i - \liminf A_i = \limsup_{n \rightarrow \infty} (A_n \Delta A_{n+1})$</color>
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====== Álgebra e/de Conjuntos ======

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Uma classe de subconjuntos é uma álgebra se, contém o conjunto vazio, fechado por operação de união e complementar.
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Observe que podemos trocar "fechado por operação de união" por "fechado por operação de interseção" equivaletemente.
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Dada uma coleção $\mathcal{C}$ de subconjuntos de $X$ existe a menor álgebra $\mathcal{B}$ que contem $\mathcal{C}$. Isto é qualquer outra álgebra contendo $\mathcal{C}$ deve conter $\mathcal{B}.$
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Dada uma álgebra $\mathcal{A}$ e $A_i$ uma sequência de subconjuntos em $\mathcal{A}$, existe uma sequência $B_i$ em $\mathcal{A}$ tal que $B_n \cap B_m = \emptyset, n \neq m$ e $\cup B_i = \cup A_i.$
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Uma álgebra $\mathcal{A}$ é chamada de $\sigma-$álgebra se contem todos os limites de qualquer sequência monótona de subconjuntos em $\mathcal{A}.$
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Definição mais conhecida: Uma álgebra $\mathcal{A}$ é $\sigma-$algebra, se é fechado por operação de união enumerável.
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  * Exemplo de união finita de intervalos semi-fechados à direita: é algebra mas não $\sigma-$álgebra.

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Conjuntos de Borel: A menor sigma algebra que contém todos os conjuntos abertos é chamada $\sigma-$algebra de Borel. Definimos conjuntos $F_{\sigma}, G_{\delta}, F_{\sigma \delta}, \cdots,...$
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Observação: Em espaços métricos, todo conjunto fechado é interseção enumerável de abertos, i.e $G_{\delta}.$
====== Probabilidade ======

Uma sequência de dados (A, B, C) é chamado intrasitivo se o dado A é melhor do que B, dado B é melhor do que C e o dado C é melhor do que o dado A. 

Um dado com $n$ faces é um vetor  $(c_1, \cdots, c_n), c_i \in \mathbb{N}$. Os números $a_i$ nas faces podem ser iguais também. O  dado (justo) A  é melhor que dado B se com probabilidade maior do que 0.5 revela um número maior após lançamento aleatório. 

Um exemplo (os lados opostos dos dados nesta figura são iguais):
{{:480px-intransitive_dice_2.svg.png?200|}}
Neste exemplo todas as probabilidades de A ganhar de B, B ganhar de C e C ganhar de A são iguais a 5/9. 
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Os alunos de jornadas de pesquisa 2023, além de demonstrar um número grande de resultados originais observaram que dados intransitivos não podem ficar muito proximo do jogo de pedra-papel-tesoura. 

Sejam $E_1, E_2, E_3$ representar os eventos $A$ ganhar de B, B ganhar de C e A ganhar de C. 
Então se $P(E_1), P(E_2) > 1-\epsilon$ então $P(E_1 \cap E_2) \leq P(E_3)$ e $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) + P(E_2)- P(E_1 \cup E_2) > 1-2\epsilon$. Isto significa que a probabilidade de A ganhar de C é maior de que $1-2\epsilon$ e portanto a probabilidade de C ganhar de A é menor do que $2\epsilon.$

Claro que num conjunto de dados intrasitivos $\epsilon > 1/4.$


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Grime's Dice

Sejam $A=(2,2,2,7,7,7), B= (0,5,5,5,5,5), C=(3,3,3,3,8,8)$ então a probabilidade de A ganhar de B é 0.58 , de B ganhar de c é 0.56 e de C ganhar de A é 0.67!
Podemos acrescentar $D=(1,1,6,6,6,6), E=(9,4,4,4,4,4)$. Isto é carinhosamente foi chamado de jogo: pedra, papel, tesoura, spock e lagarto.


~~DISCUSSIONS~~