<color #ff7f27> Essa página estará em constante evolução para colecionar curiosidades!</color>

Seja $  sinc(x)=\frac{sen(x)}{x}, x \neq 0, sinc(0)=1.  $ Essa função já foi debatida muito! É possível provar que

$  \int_{0}^{\infty} sinc(x) dx = \int_{0}^{\infty} sinc^2(x) dx = \frac{\pi}{2}.  $

Agora que vem a surpresinha:

$  \int_{0}^{\infty} sinc(x) dx = \frac{\pi}{2}  $

$  \int_{0}^{\infty} sinc(x) sinc(\frac{x}{3}) dx = \frac{\pi}{2}  $

$  \int_{0}^{\infty} sinc(x) sinc(\frac{x}{3}) sinc(\frac{x}{5}) dx = \frac{\pi}{2},  $

$  \int_{0}^{\infty} sinc(x) sinc(\frac{x}{3}) sinc(\frac{x}{5}) sinc(\frac{x}{7}) dx = \frac{\pi}{2}  $

...

$  \int_{0}^{\infty} sinc(x) sinc(\frac{x}{3}) sinc(\frac{x}{5}) sinc(\frac{x}{7}) \cdots sinc(\frac{x}{13}) dx = \frac{\pi}{2}  $

Imagina quanto é

$  \int_{0}^{\infty} sinc(x) sinc(\frac{x}{3}) sinc(\frac{x}{5}) sinc(\frac{x}{7}) \cdots sinc(\frac{x}{13}) sinc(\frac{x}{15}) dx ?   $=

Deve ser $  \frac{\pi}{2}  $ né????

<color #ed1c24>Só que não!</color>
$  \int_{0}^{\infty} sinc(x) sinc(\frac{x}{3}) sinc(\frac{x}{5}) sinc(\frac{x}{7}) \cdots sinc(\frac{x}{13}) sinc(\frac{x}{15}) dx =   $

$  = \pi(\frac{1}{2} - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000} ) $

(Reference https://www.carma.edu.au/resources/jon/sinc-sums.pdf)

===== Fórmula de Wallis para calcular $  \pi$ =====
A fórmula de Wallis não é muito complicada e podemos provar aqui:

objetívo é demonstrar que 

$  \frac{\pi}{2} = \frac{2\times 2\times 4\times 4\times \cdots \times 2m \times 2m \times \cdots}{1 \times 3\times 3 \times 5 \times 5 \times \cdots}$

Denotamos por $  W_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sen^n(x) dx $

é fácil ver que $  W_0=\frac{\pi}{2} $ e $  W_1 =1. $ 

Fazendo um bom exercício de integração por partes podemos mostrar que 

$  W_n = \frac{1}{n} [-cos(x)sen^{n-1}(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{n-1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sen^{n-2}(x) dx.  $

e portanto 

$  W_n = \frac{n-1}{n} W_{n-1}, n \geq 2. $ Se continuarmos assim obteremos:

$  W_{2m} = \frac{2m-1}{2m}\frac{2m-3}{2m-2}\cdots \frac{1}{2} W_0 $

e para números ímpares:

$  W_{2m+1} =  \frac{2m}{2m-1}\frac{2m-2}{2m-1}\cdots \frac{1}{2} W_1$

Já que $  W_0 = \frac{\pi}{2}, $ então  temos uma relação entre número $  \pi$ e $  W_{2m}.$ 

Dividindo as fórmulas para índices ímpares por índices pares teremos:

$  \frac{W_{2m+1}}{W_{2m}} =  \frac{(2m)(2m) (2m-2)(2m-2)\cdots (2)(2)}{(2m+1)(2m-1)(2m-1)(2m-3)(2m-3)\cdots (3)(3)(1) } \frac{2}{\pi}$

e portanto 

$  \frac{\pi}{2} = \frac{(2m)(2m) (2m-2)(2m-2)\cdots (2)(2)}{(2m+1)(2m-1)(2m-1)(2m-3)(2m-3)\cdots (3)(3)(1) } \frac{W_{2m}}{E_{2m+1}} $

Agora observe que 

$  0 \leq sen^{2m+1}(x) \leq sen^{2m}(x) \leq sen^{2m-1}(x),  0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$

e portanto $  W_{2m+1} \leq W_{2m} \leq W_{2m-1}$. isto implica que 

$  1 = \frac{W_{2m+1}}{W_{2m+1}} \leq \frac{W_{2m}}{W_{2m+1}} \leq \frac{W_{2m-1}}{W_{2m+1}} = \frac{2m+1}{2m}$

e usando teorema de sandwich concluímos que $  \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{W_{2m}}{W_{2m+1}} = 1$

e assim demonstramos a fórmula de Wallis.