====== Margulis, Plante-Thurston ======
 
<color #ed1c24>Teorema:</color> Seja $M^{3}$ uma variedade fechada admitindo um fluxo de Anosov. Então $\pi_1(M)$ tem crescimento exponencial.

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Corolário: $S^3$ ou $\mathbb{T}^3$ não podem admitir fluxo de Anosov.
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Demonstração (Seguindo nota de R. Potrie em Notices AMS): Um grupo $\Gamma$ finitamente gerado tem crescimento exponencial, se para algum conjunto gerador $F \subset \Gamma$ temos a seguinte propriedade:

A cardinalidade de conjunto de elementos do grupo que podem ser escritos como produto de no máximo $n$ elementos de $F \cup F^{-1}$ cresce exponencialmente com $n.$ Observe que essa noção não depende da escolha do conjunto gerador. Por exemplo o grupo livre gerado por $a, b$ tem crescimento exponencial: número de palavras diferentes com $n$ letras é exponencial.

Numa variedade compacta o grupo fundamental tem crescimento exponencial se somente se o volume de bolsa de raio $R$ em $\tilde{M}$ (recobrimento universal), cresce exponencialmente com $R$.
Isto é, se $\pi : \tilde{M} \rightarrow M$ é a transformação de recobrimento e consideramos a métrica induzida pela $\pi$ então existem $x \in \tilde{M}, c, \delta > 0$ tais que
$$
vol(B(x, R) > ce^{\delta R}.
$$ 

Em geral o crescimento de volume das bolas no recobrimento universal é o mesmo que crescimento do grupo fundamental. Para isto basta cobrir a bola com imagens de um domínio fundamental compacto com volume finito pelas transformações deck. Por exemplo o grupo fundamental de $\mathbb{T}^2$ é abeliano e tem crescimento polinomial e podemos observar que no recobrimento universal $\mathbb{R}^2$ o volume das bolsas é comparada com $R^2.$

Alguns fatos:

  * Se $\phi^t$ é um fluxo de Anosov em $M$, então não existe subvariedade fechada tangente a $\mathbb{R}X \oplus E^s$. Em particular a folheação centro-estável (e também centro instável) não tem nenhuma folha compacta.

A demonstração é fácil. Basta observar que se existir $K \subset M$ compacto tal subvariedade, então $\phi^1$ é um difeomorfismo cuja jacobiana é menor do que um em todos os pontos que é um absurdo.
  * (UM)Teorema de Novikov: Seja $\mathcal{F}$ uma folheação por superfícies de uma variedade fechada $M^3.$ Suponhamos que existe uma curva transversal a folheação e homotopicamente nula. Então, $\mathcal{F}$ admite uma folha fechada.

Demonstração do Teorema: Seja $\pi: \tilde{M} \rightarrow M$ o recobrimento universal e levantamos $\phi_t$ a um fluxo e $\tilde{\mathcal{F}}^{ws}$ o levantamento da folheacão estavel fraca em $\tilde{M}.$ 

Considere um arco $J$ tangente a distribuição $\tilde{E}^u$. Podemos mostrar que $\tilde{\phi}_t(J)$ não intersecta uma caixa folheada duas vezes. De fato se isso ocorrer, podemos achar uma curva fechada $\gamma$ em $\tilde{M}$ transversal a folheação $\tilde{\mathcal{F}}^{ws}.$ Mas observe que isto significa que na variedade $M$ a folheação $\mathcal{F}^{ws}$ tem uma curva transversal $\pi(\gamma)$ que é homotopicamente nula. 

Já que caixas folheadas tem tamanhos uniforme, então existe $c_0 > 0$ tal que:
$$
 vol (B(\tilde{\phi}_t(J), 1) > c_0 length(\tilde{\phi}_t(J)).
$$

Já que $J$ é tangente a $E^u$, então para algum $\delta > 0$ temos  $length (\tilde{\phi}_t(J)) > c_1 e^{\delta t}$ e então temos
$$
 vol (B(\tilde{\phi}_t(J), 1) > c_0 c_1 e^{\delta t}.
$$ 
Por outro lado vamos mostrar que existe $c_2 > 0$ tal que se $x_0 \in J$ então $\tilde{\phi}_t(J)$ é contido na $B(x_0, R_t)$ onde $R_t \leq c_2 t + diam (J).$ Isto mostra que o volume de uma bola de raio linear em $t$ está crescendo exponencial e termina a demonstração de crescimento expnencial.

Para provar afirmação, basta observar que para qualquer $x \in J$:
$$
d(x_0, \tilde{\phi}_t(x)) \leq d(x_0, x) + d(x, \tilde{\phi}_t(x)) \leq diam(J) + c_2 t.
$$

constante $c_2$ depende da derivada de $\phi_t$ ao longo das orbitas do fluxo que é uniformemente limitada em $t.$

~~DISCUSSION~~