====== Teorema Fundamental de Cálculo ======
Bem, chegou a hora de aprender teorema fundamental de cálculo! Eventualmente aprendemos a noção de integral e percebemos que integral e derivada são da mesma família! Vamos seguir nesta pagina o livro infinite powers do Strogatz.
O problema de cálculo de área abaixo do gráfico de uma função (contínua) (um problema clássico ou quadratura de uma região curvada foi um motor para crescimento de cálculo.
Depois de Newton e Leibniz, este problema ganhou uma forma moderna e hoje em dia alunos jovens brincam com curvas e calculam área das regiões como uma diversão "trivial"!
Vamos abordar por este teorema de formas diferentes e depois enunciamos mais rigorosamente.
Considere uma função contínua $ f $ tal que $ f \geq 0 $ e denotamos por $ A(x_0) $ a área abaixo do gráfico da função delimitada pelas retas $ x=0, x=x_0 $ e $ y=0 $. Pela figura é claro que $ x \rightarrow A(x) $ é uma função crescente. Porém pode imaginar qual é a taxa de variação de $ A? $
Pelo teorema fundamental de cálculo, a taxa de variação no ponto $ x $ é igual a $ f(x). $
===== Movimento e Teorema fundamental de cálculo =====
Vamos analisar o problema de área "dinamicamente". Considere um carro com velocidade constante $ 60 km/h $. Vamos esboçar o gráfico do deslocamento versus tempo e em outro gráfico esboçamos velocidade versus tempo.
{{:velocidade-1.png?400|}}
Depois uma hora o carro viaja 60 km e após duas horas 120 km. A distância é uma função linear do tempo $ f(t)=60t. $ O gráfico é uma reta cuja inclinação (60) é a velocidade (constante) do carro. Portanto a velocidade se revela no gráfico da distância olhando para inclinação da reta tangente ao gráfico.
Como podemos revelar a distância, olhando para o gráfico da velocidade. Neste caso, onde a velocidade é constante vamos ver simplesmente que a área abaixo do gráfico (retângulo) de $ g $ entre $ x=0, t $ é $ A(t)=60t $ que é exatamente o deslocamento até tempo $ t. $
Neste exemplo com velocidade constante estava simples verificar que a área abaixo do gráfico da função velocidade é o deslocamento, mas o Newton teve a ideia de que isto deve valer para qualquer tipo de movimento! Newton pensava a área como um objeto em movimento também! Parece que ele pensou como uma animação e a área ganhou movimento! Ai, a taxa de variação da área seria a velocidade da área!
Aceleração constante:
Considere um objeto com movimento de aceleração constante. Isto significa que ele ganha velocidade, porém com uma taxa constante sua velocidade aumenta. Numa situação ideal, quando um objeto terra cai, sua velocidade aumenta com aceleração constante. Se aceleração for $ a $, então a velocidade varia com tempo seguindo função $ v(t)=at. $ Qual é o deslocamento após tempo $ t? $
A fórmula $ d=vt $ não funciona, pois a velocidade não é constante. Pense! se fosse verdade, seria $ d(t)=at^2. $
Seguindo livro do Strogatz (Infinite Powers), este problema já tinha sido resolvido em torno de 1335 por William Heytesbury, Oxford, Merton College e Nicole Oresme, religioso e matemático francês que elucidou mais o problema em torno de 1350.
Seguindo Teorema fundamental de cálculo, neste caso o deslocamento é a área abaixo do gráfico da função $ t \rightarrow v(t)=at $. A figura abaixo do gráfico cuja área equivale ao deslocamento é um triângulo neste caso cuja área é
$ \frac{1}{2} t \times at = \frac{1}{2}at^2. $
==== Teorema fundamental de cálculo via rolo de pintura (seguindo Strogatz) ====
Aqui vamos elucidar um pouco mais, a ideia intuitiva do teorema fundamental de cálculo de uma forma dinâmica. Vamos dar dinâmica a um objeto estático que é a área abaixo do gráfico de uma função!
Considere uma curva como figura abaixo e queremos descobrir a área da região denotada por $R$ na figura.
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A curva não é necessariamente gráfico de uma função polinomial. Este era problema de área (o problema mais desafiador de meio 1600). A ideia genial do Newton foi abordar este problema de calcular área dentro das curvas, com movimento!
{{:newton.png?200|}}
Anterior ao Newton, para achar área dentro das curvas, a ideia era dividir a região em objetos mais simples cuja área era calculável.
A primeira etapa era considerar uma região no plano xy e ter uma fórmula para curva (essencialmente ter uma função e seu gráfico e calcular área abaixo do gráfico). Essa ideia de coordenadas e fórmula para curvas já era explorada por Descartes e Fermat.
Ai, entra ideia de derivada, taxa de variação: Newton pensou em coordenada $ x $ como o tempo. Então a área da região R varia com tempo! Pode parecer trivial, mas essa ideia é genial: Não calcule área de uma região, vamos calcular área de muitas regiões, alias consideramos uma região dinâmica e sua área será uma função
$ x \rightarrow A(x) $
A partir daqui, considere um pintor mágico que está pintando perfeitamente a região abaixo do gráfico e claro, na posição $ x, $ o tamanho do rolo de pintura é exatamente $ f(x) $ para ter uma pintura perfeita sem exceder nem deixar de pintar algo.
**Qual é a taxa de crescimento da região R, enquanto x move a direta no eixo x?**
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Pensa no pintor mágico (eu chamaria este pintor de Leibniz para ficar justo com personagens) e imagina num tempo infinitesimalmente pequeno $ dx $. Quanto será área que ele pinta?
Num tempo infinitesimalmente pequeno, ele não deve alterar o tamanho de rolo de pintura e ai a área será dada por $ f(x) dx. $ Então a taxa de variação da área $ dA= f(x)dx $ e ai
$ y(x)=\frac{dA}{dx}. $
Ou seja a derivada (sim, é diferenciável!) da função $ x \rightarrow A(x) $ é dada por $ y(x). $
Para deixar @s inquiet@s um pouco mais com conforto vamos detalhar um pouco mais. De fato este é uma maravilha dos monstrinhos (lembra deles?) inventados por Leibniz (veja figura deles.)
{{:dy-1.jpeg?100|}}{{:dx-1.jpeg?100|}}
{{:fundamental.png?450|}}
veja na figura acima: a área da região curvada ABEC é exatamente $ \Delta A = A(x+ \Delta x) - A(x). $ se ignorarmos a parte curvada (mais especificamente a região CDE) vamos ficar apenas com retângulo ABCD cuja área é $ f(x) \times \Delta x $. Bem, se realmente possamos ignorar a região pequena curvada concluímos que
$ \frac{\Delta A}{\Delta x} = f(x). $
Porém apenas podemos ignorar quando $ \Delta x $ vira $ dx. $ ou seja:
$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta A}{\Delta x} = f(x). $
o segredo é seguinte:
Quando $ \Delta x $ é "muito muito" pequeno então a área da região curvada CDE é muiiiiito menor do que área do retângulo ABCD. De fato
$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{Area(CDE)}{Area(ABCD)} =0. $
Vamos chamar de $ a_1 $ a área da região pequena CDE e de $ a_2 $ a área do retângulo ABCD. Se este segredo não for fake! (que não é!) então
$ \frac{\Delta A}{\Delta x} = \frac{a_1+a_2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a_2(1+ \frac{a_1}{a_2})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a_2}{\Delta x}= f(x). $
De onde vem este segredo? Porquê $ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a_1}{a_2} =0? $
Continuidade é um segredo!
De fato, dado um $ \epsilon > 0 $ muito pequeno, escolhendo $ \Delta x $ pequeno suficiente, pela continuidade da função $ f $ a região curvada CDE fica dentro de um retângulo com largura $ \Delta x $ e altura $ \epsilon $ e portanto
$ \frac{a_1}{a_2} \leq \frac{\epsilon \times \Delta x }{ f(x) \times \Delta x} = \frac{\epsilon}{f(x)} $
e portanto essa fração tende a zero, pela definição de limite.