De fato o estudo de limite de funções foi motivado por outro tema que é a DERIVADA de uma função. Suponhamos que um objeto está em queda livre. Não é difícil acreditar que a "velocidade" deste objeto varia ao longo do tempo. Logo surge a noção de velocidade instantânea.

Suponhamos que um objeto está na posição $  d_0  $ no momento $  t_0.  $ Se a posição dele no momento $  t_1 > t_0  $ for $  d_1  $, então definimos sua velocidade média neste intervalo de tempo como

$  \frac{d_1- d_0}{t_1 - t_0}.  $

Desde os tempo de Galileo, o celaculo de velocidades foi um problema intrigante. Apenas com descoberta do cálculo diferencial pelo Newton e Leibniz tivemos respostas rigorosas a pergunta de velocidade instantânea.

Seja $  d : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}  $ denotar a posição de uma partícula no momento $  t  $ na reta de números reais (para facilitar vamos assumir que $  D(d) = \mathbb{R}  $). Definimos a velocidade instantânea no momento $  t \in \mathbb{R}  $ como o limite das velocidades médias entre os tempos $  t  $ e $  s  $ quando $  s  $ convergir a $  t.  $ Ou seja,

$  \lim_{s \rightarrow t} \frac{d(s) -d(t)}{s-t}.  $

Pronto! estamos com um problema de cálculo de limite de funções. Fixamos $  t  $, Podemos definir uma função

$  g(s) :=  \frac{d(s)-d(t)}{s-t}  $,

e a velocidade instantânea será igual a $  \lim_{s \rightarrow t} g(s).  $

Lembrem (na definição do limite) que para definir limite acima, não precisamos que a função $  g  $ esteja definida no ponto $  t  $.

<WRAP  round box 60%>
<color #ed1c24>Portanto, há necessidade de calcular limites!
</color></WRAP>


Exemplo 0: Calcule $  \lim_{x \rightarrow 1} f(x)  $ onde $  f(x) = x-1.  $

Neste casos, podemos advinhar logo o limite:

$  \lim_{x \rightarrow 1} (x-1) = 0.  $

Podemos demonstrar usando quantificadores: Para todo $  \epsilon > 0$ existe $  \delta > 0  $ tal que se $  0 < |x-1|\leq \delta  $ então $  |f(x)- 0| \leq \epsilon.  $

Ora, $  |f(x) - 0| = |x-1|  $. Portanto basta escolher $  \delta = \epsilon  $ para garantir a desigualdade desejada.

Se queremos que $  |f(x) - 0| \leq 0.09  $ basta que $  |x-1| \leq 0.09  $.

Vamos agora a um exemplo não trivial:

Exemplo 1: Calcule $  \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen(x)}{x}.  $

Este limite é um dis limites fundamentais que vamos usar bastante no futuro. Porém neste momento precisamos refletir bem para perceber que "não é fácil" de advinhar! Para começar a função nem está definida no ponto $  x =0.  $ Observe também que não podemos usar ferramentas como última proposição da aula anteior:

o limite do denominador da função $  \frac{sen(x)}{x}  $ quando $  x \rightarrow 0  $ é igual a um!

Bom, o numerador também tem limite igual a zero queando $  x  $ tende a zero.

Exatamente aqui reside a beleza do cálculo, pois precisamos achar para que ponto a divisão de dois números que estão ficando muito próximo a zero, vai convergir, se é que converge!

<WRAP  round box 60%>
<color #ed1c24> Numa línguagem "muito vulgar e imprecisa" queremos saber qual é o valor de $  \frac{0}{0}$</color>  .
</WRAP>


Vamos colocar a mão na massa: Para $  x \neq 0, |x| < \pi/2  $

$  sen(x) < x < tan(x)  $ ,   se $  x > 0  $ (pense! Compare áreas de triângulos e setor do círuclo com ângulo $x$ na figura abaixo para concluir essa desigualdade.)  e

$  tan(x) < x < sen(x)  $,   se $  x < 0.  $ (veja a figura abaixo)

{{ :sen.png?300 |}}


Portanto se $  x\neq 0  $ teremos

$  1 < \frac{x}{sen(x)} < \frac{1}{cos(x)}.  $

Pois bem. Na aula anterior, verificamos que  $  cos(x)    $ é uma função contínua de $  x  $ e portanto $  \lim_{x \rightarrow 0} cos(x) = cos(0) = 1  $. Então, $  \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{cos(x)} = 1.  $

Já que o valor da função $  \frac{x}{sen(x)}$ para todo $  x $ (próximo a zero, aliás $  |x| < \pi/2  $ ) está entre duas funções (função constante 1 e $  \frac{1}{cos(x)}  $) cujos limites quando $  x \rightarrow 0  $ coincidem e é igual a um, concluímos que

$  \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sen(x)} = 1.  $ (peraí, como??? veja abaixo!)

Portanto agora usando a última proposição da aula anterior, concluímos que

$  \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen(x)}{x} = 1.  $

No cálculo do limite acima, usamos um fato simples que tem um nome "gostoso": 
<WRAP  round box >
Teorema de Sandwiche (ou teorema de confronto ("nome de mal gosto")):
Sejam $  f, g, h  $ três funções que $  f(x) \leq g(x) \leq h(x).    $ suponhamos que $x_0$ é um ponto limite do domínio de todas elas e 

$  \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0}  h(x) = L    $

então $  \lim_{x \rightarrow x_0}  g(x) = L    $.
</WRAP>




Exemplo 2: Calcule o limite abaixo:

$  \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x}    $.

Observe que quando $  x   $ tende a zero, o numerador da fração acima, $  1-cos(x)  $ converge a $  1 - cos(0) = 0    $. Portanto falando de uma forma informal, para calcular este limite precisamos entender o comportamento de divisão de uma quantidade por outra, enquanto ambas convergem ao zero.

Vamos adiantar um segredo indecente mais correto: neste exemplo, o numerador converge ao zero de uma forma mais forte que o denominador! Vamos ver o que isto quer dizer matemáticamente:

Uma igualdade trigonométrica importante: 
<WRAP center round box 60%>
<color #ed1c24>$  1-cos(x) = 2 sen^2(\frac{x}{2})  $</color>
</WRAP>

Usando a igualdade acima temos: $  \frac{1-cos(x)}{x} = \frac{2 sen^2(\frac{x}{2})}{x}  = (sen(\frac{x}{2})) \frac{sen(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}}  .$

Toda manobra que fizemos, é para escrever a fração inicial como produto de duas funções e usar o item (2) da proposição (propriedades básicas).

  $  \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen(x/2)}{x/2} = 1   $. Observe que já temos mostrado que $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x} = 0$ portanto trocando $x$ por $x/2$ ainda o limite é um. 

 $ \lim_{x \rightarrow 0} sen(\frac{x}{2}) = 0  $. Pois a função seno é contínua em zero.

Sendo assim,

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0 \times 1 = 0   .$

<color #ed1c24>No processo de cálculo do limite acima, fizemos algumas operações algébricas, massageando a função, para poder desvendar aonde ela converge quando a variável $  x$ tende ao zero.</color>


<WRAP  round important 60%>
Um erro comum! Sabe onde está o erro de dizer que $\frac{1-cos(x)}{x} = \frac{1}{x} - \frac{cos(x)}{x}$ e já que $\lim_{x \rightarrow 0} cos(x) = 1$, então $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0?$
</WRAP>

De fato como sugerido por um aluno do ICMC observe que este tipo de erro pode te levar a lugares obscuros! Veja por exemplo $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$ porém usando o "argumento errado" acima teriamos $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 0.$
*******************

Exemplo 3: Verifique a existência de $  \lim_{x \rightarrow} sen(\frac{1}{x}).  $

Observe que $  D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}  $ e portanto $  x=0  $ é um ponto limite do domínio da função. Portanto faz sentido perguntar sobre limite acima. Porém vamos ver que o limite não existe!

Um olhar intuitivo: Vamos olhar o gráfico desta função:

{{ :sen-1.png?400 |}}

Bem, quando $  x \rightarrow 0$ a função oscila muito! "A função não decide para qual valor convergir quando a variável $  x $ tende ao zero."

Vamos ver isto analiticamente: Suponhamos que exista algum limite $  L  $. Portanto para toda sequência $  a_n \neq 0  $ e que $  a_n \rightarrow 0  $ temos que ter

$  \lim_{n \rightarrow} sen(\frac{1}{a_n}) = L.  $

Agora, se escolhermos $  a_n = \frac{1}{n \pi }  $ concluímos que $  L=0.  $

Por outro lado se escolhermos $  a_n = \frac{1}{n \pi + \frac{\pi}{2}} $ obteremos que $  L = 1.  $

Ora, mas pela definição se o limite existir, deve ser único número!