====== Limite e Continuidade 1 ======

Considerando o assunto de erro de aproximação, para um ponto $ x \in Dom(f)$ (um ponto no domínio de f) dizemos que a função é contínua no ponto x (ou que tem estabilidade de computação no ponto x), se

$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0$ tal que se $ |x-y| \leq \delta$ entao $ |f(x) - f(y)| \leq \epsilon$

Lembrem pela aula anterior que determinar o valor adequado de $ \delta$ pode depender de x e $ \epsilon$ e geralmente é uma tarefa árdua.

<color #ed1c24>Vai ser difícil!? nem tanto!
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Para mostrar a continuidade de uma função no futuro próximo vamos utilizar uma ferramenta que essencialmente é uma mistura de uso de álgebra e análise. De fato álgebra (como um aparelho massageador de expressõs e funções) vai colaborar para domesticar os monstros com ajuda de análise. Este é o processo de limite! antes de falar de limite de funções vamos mostrar como mais um exemplo, a continuidade de uma função trigonométrica.

Exemplo de continuidade:

Vamos mostrar que a função $ f(x) = sen(x)$ é contínua em todos seu domínio.

Vamos falar um pouco de trigonometria. Lembramos que os ângulos serão identificados com números reais, considerando uma relação de equivalência, i.e, dois números cujos diferença é um múltiplo inteiro de $ 2 \pi$ são o mesmo ângulo.  Lembramos também que estamos considerando a medida dos ângulos em radiano.

Vamos primeiro provar que $x \rightarrow sen(x)$ é contínua no ponto $x=0$. Já que $sen(0)=0$; precisamos provar que para todo $ \epsilon >0$ existe um número $ \delta >0$ tal que se $ |\theta - 0| = |\theta| \leq \delta$ então $ |sen(\theta) - sen(0)| = |sen(x) | \leq \epsilon. $

Para facilitar vamos considerar o círculo de raio 1 e assim $ sen(\theta) = AH $. (apesar de que na figura está aparecendo 3!). Observe que a medida de ângulo em radiano é igual a proporção dos comprimentos do arco correspondente e o raio do círculo.

No triângulo retangular AHD, sabemos que AH < AD (hipotenusa é maior do que cateto) e o comprimento de AD é menor do que o do arco AD que pela definição é igual a $ \theta.$

portanto $ sen(\theta) < AH < AD < \theta.$ Veja $ \theta$ considerado na figura  (ângulo $DOA$).

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é positivo e portanto $ |sen(\theta)| = sen(\theta) < \theta$. Isto significa que basta tomarmos $ \delta = \epsilon$ (a escolha de delta está em nossa mão e pode depender do $ \epsilon$).

Se $ \eta < 0$, o argumento será similar: O ângulo DOB = $ \eta$ é negativo e $ |sen(\eta)| = -sen(\eta) = KB < BD < |\eta|.$ Portanto novamente a escolha de $ \delta = \epsilon$ funciona.

Agora vamos verificar a continuidade num ponto $ \theta_0$ arbitrário. Precisamos mostrar que para todo $ \epsilon > 0$ existe $ \delta >0$ tal que se $ |\theta - \theta_0| \leq \delta$ então $ |sen(\theta) - sen(\theta_0)| \leq \epsilon.$ Se escrevermos $ \theta = \theta_0 + h$ temos

$ sen(\theta) - sen(\theta_0) = sen(\theta_0) cos(h) + cos(\theta_0) sen(h) - sen(\theta_0 ) $

$ = sen(\theta_0)(cos(\theta_0)-1) + cos(\theta_0)sen(h)$

então $ |sen(\theta) - sen(\theta_0)| \leq |sen(\theta_0)(cos(h) -1)| + |cos(\theta_0) sen(h)| $

agora, usamos seguintes estimativas:

$ |sen(\theta_0)(cos(h) -1)| \leq |cos(h) -1|$
$ |cos(\theta_0) sen(h)| \leq |sen(h)|$.

Podemos escolher $ \delta > 0$ tal que se $ h \leq \delta$ então $ |cos(h) -1| \leq \epsilon/2.$ Isto pode ser demonstrado com um argumento geométrico como fizemos acima, para função coseno.   De fato basta tomar $\delta = \epsilon/2.$

Pela continuidade no zero, a escolha adequada do $ \delta$ implica que  $ |sen(h)| \leq \epsilon/2.$

Reunindo todas as conclusões acima:

$ |sen(\theta) - sen(\theta_0)| \leq \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon. $


**Limites:** 

A noção de limite e convergência (já estudamos para sequências) para funções vai ser uma ferramenta muito útil e mágica para averiguar a continuidade das funções. Além disto tem suas utilidades por si só.

Vamos discutir na próxima aula.