Depois de definirmos série de Fourier de uma função $\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{inx}$ ou $\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n cos(nx) b_n sen(nx)$ vamos analisar quando a série converge.

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Teorema: Seja $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função seccionalmente diferenciável (i.e seccionalmente contínua e sua derivada seccionalmente contínua) e de período $2 \pi$ então 
$$
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n cos(nx) b_n sen(nx) = \frac{1}{2} (f(x+) + f(x-))

$$ 
onde $f(x+) = \lim_{t \rightarrow x^{+}} f(t)$ e $f(x-) = \lim_{t \rightarrow x^{-}} f(t)$
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Na verdade pela demonstração podemos obter outros resultados de convergência também:
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Se $f$ for Holder contínua em $x$ então (sem assumir diferenciabilidade) temos que
$$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n cos(nx) b_n sen(nx) = f(x).$$
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Para demonstrar precisamos conhecer núcleo de Fourier: $D_n(x) = \frac{1}{\pi} (\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} cos(kx)).$ Usando um pouco de trgigonometria ou números complexos temos
$$
 D_n(x) = \frac{1}{2\pi} \frac{sen((n+\frac{1}{2})x)}{sen(\frac{x}{2})}
$$
claro que a fórmula é para $x \neq \sim 2k\pi$ e  podemos definir $D_n(0) = (n+\frac{1}{2})\pi.$

Algumas propriedades de $D_n$
  * $D_n$ é uma funçao par.
  * $\int_{-\pi}^{\pi} D_n(x) dx = 1.$
  * $D_n$ é periódica de periódo $2 \pi.$

Agora precisamos massagear um pouco a série de Fourier e usar o núcleo de Fourier: De fato (apenas usando definição de $s_n$ e trigonometria básica)
$$
 s_n(x)= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{\pi} [\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} cos(k(x-y))] f(y) dy
$$

Observe que pela definição de $D_n$ podemos re escrever:
$$
 s_n(x) = D_n*f (x) = \int_{-\pi}^{\pi} D_n(x-y) f(y) dy. 
$$

Agora vamos rumo a demonstração do teorema:

Proposição (Riemann-Lebesgue)
Seja $f: [a, b] \rightarrow $ Riemann integrável (vale para mais geral em $L^1$) então
$$
 \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) sen(tx) dx = 0 \quad {\, } \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) cos(tx) dx = 0
$$ 

Observem que estamos afirmando um pouco mais do que os coeficientes de Fourier convergem a zero. 

Vamos apresentar um resultado que de fato implica o teorema:

Teste de Dini: Seja $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função periódica em $[-\pi, \pi]$. Suponhamos que $f(x+), f(x-)$ existem e que exista $\eta > 0$ tal que para $g(x, t) := [f(x+t)-f(x+)] + [f(x-t) - f(x-)]$ se
$$
 \int_{0}^{\eta} \frac{g(x, t)}{t} dt < \infty
$$
Então $s_n(x) \rightarrow \frac{f(x+) + f(x-)}{2}.$

Em seguida usando Riemann-Lebesgue demonstramos Teste de Dini e terminaremos a demonstração do teorema de convergência de Dirichlet-Fourier.

$$
s_n(x) = \int_{-\pi}^{\pi} D_n(x-y) f(y) dy = \int_{-\pi + x}^{\pi +x} D_n(t) f(x-t) dt = \int_{-\pi}^{\pi} D_n(t) f(x-t) dt
$$

Usando o fato de $D_n$ uma função par, temos $\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t) f(x-t) dt = \int_{0}^{\pi} D_n(t) [f(x+t) + f(x-t)] dt  $

Agora vamos estimar $e_n(x)$, o erro de aproximção  $s_n(x) - \frac{f(x+) + f(x-)}{2}$:
$$
 e_n(x) = \int_{0}^{\pi} D_n(t) g(x, t) dt.
$$

Podemos decompor a integral acima em 2 integrais:

$$
 e_n(x) = \int_{0}^{\delta} tD_n(t) \frac{g(x, t)}{t} dt + \int_{\delta}^{\pi} sen((n+1/2)t) \frac{g(x, t)}{sen(t/2)} dt
$$

Vamos majorar cada uma das integrais:
Temos que $|tD_n(t)| \leq \frac{t}{2\pi sen(t/2)} \leq \frac{1}{2}$ (poderiamos qualquer limitação superior para essa função em $[0, \pi]$.)
Portanto a primeira integral é menor do que $\frac{1}{2}\int_{0}^{\delta} |\frac{g(x, t)}{t}| dt$
e pela hipotese sobre $\frac{g(x,t)}{t}$ podemos escolher $\delta$ pequeno o suficiente para que a primeira integral seja menor do que $\frac{\epsilon}{2}.$

Agora vamos estimar a segunda integral, i.e $\int_{\delta}^{\pi} sen((n+1/2)t) \frac{g(x, t)}{sen(t/2)} dt$. Bast aobservar que a função $g$ é integrável e já que $sen(t/2)$ no intervalo $[\delta, \pi]$ não anula então $\frac{g(x, t)}{sen(t/2)}$ é integrável e podemos aplicar Riemann-Lebesgue para essa função que por sua vez significa para $n$ grande o suficiente temos que a segunda integral é menor do que $\epsilon /2.$

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Quando teste de Dini aplica!
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Claro que nas hipoteses de teorema de convergência de Dirichlet-Fourier vamos satisfazer as hipoteses do teste de Dini. 

Porém basta que $f$ seja $\alpha-$Holder em $x$ e ai 
$$
 |g(x, t)| \leq. |f(x+t) - f(x)| + |f(x-t) -f(x)| \leq 2Kt^{\alpha} 
$$ 
e portanto 
$$

\int_{0}^{\delta} |\frac{g(x, t)}{t}| dt \leq 2K \int_{0}^{\delta} t^{\alpha-1} < \infty.
$$