A Modelagem do Problema

O primeiro passo na resolução deste problema é encontrar o tempo que a partícula leva para se deslocar sobre uma curva qualquer que una $A$ a $B$ pois, a partir disso, poderemos variar entre todas as possíveis curvas para encontrar aquela de menor tempo.

Esquematizando no plano coordenado, temos:

Figura 2: Deslocamento da partícula sob a ação da gravidade

Note que orientamos o eixo $y$ no sentido oposto ao usual. Isto é conveniente pois, neste caso, a força exercida pela gravidade fica orientada no sentido positivo. O sistema de coordenadas também foi escolhido de modo que o ponto $A$ fique localizado na origem.

Sabemos da Física que quando uma partícula atua sob a ação da gravidade, o trabalho realizado para se deslocar de $A$ até um ponto $P$ é igual à variação da energia cinética. Assim, denotando por$v$ o módulo da velocidade (velocidade escalar) da partícula no ponto $P,$ por $y$ o seu deslocamento vertical e por $m$ a sua massa, temos

$${\text{ trabalho}}=mgy= \frac12 mv^2={\text{ varia\c{c}\ {a}o da energia cin\'{e}tica.}}$$ (2.1)

Mas, a velocidade escalar é a variação do espaço percorrido -- $s$ no esquema acima -- pelo tempo, ou seja,

$$v=\frac{ds}{dt}$$   e, por (2.1), $$v=\sqrt{2gy}.$$ Usando o fato que o comprimento do arco percorrido para ir de $A=(0,0)$ a $P=(x,y)$ através de uma curva que é representada pelo gráfico de uma função $y=y(x)$ é dado por  $$s=\int_0^x\sqrt{1+(y')^2}dx,$$ obtemos  $$\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+(y')^2}.$$ Assim, denotando por $t$ o tempo gasto neste trajeto, ficamos com  $$\frac{dt}{dx}=\frac{dt}{ds}\frac{ds}{dx}=\frac{1}{v}\sqrt{1+(y')^2}=\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}}.$$ Assim, para se deslocar de $A=(0,0)$ a $B=(x_o,y_o)$ o tempo total gasto é

$$T(x_o)=\int_0^{x_o}\sqrt\frac{{1+(y')^2}}{{2gy}}dx.$$ (2.2)

O problema se resume a encontrar uma função $y=y(x)$ que minimize o tempo acima e o procedimento usual para a sua resolução é fazer uso do Cálculo Variacional. Mais precisamente, precisamos encontrar uma função $y=y(x)$ que satisfaça

$$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{ d}{ dx} \left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0,$$ (2.3)

onde

$$f(x,y,y')=\sqrt\frac{{1+(y')^2}}{{2gy}}.$$ (2.4)

Após alguns cálculos, combinando (2.3) e (2.4) o problema se resume a encontrar uma função $y=y(x),$ que satisfaça

$$\begin{cases}\frac{d}{dx}\left[\left(1+(y')^2\right)y\right]=0 y(0)=0, y(x_o)=y_o.\end{cases}$$ (2.5)

Nós não utilizaremos este método geral para a resolução do problema. A resolução que apresentaremos a seguir segue os passos da resolução apresentada por James Bernoulli. Antes faremos um breve intercurso num problema de Óptica que, embora aparentemente não esteja relacionado ao problema da braquistócrona, se mostrará de grande valia para a sua resolução.