1) Sistemas Dinâmicos.
O que é um
sistema dinâmico? Há uma infinidade de coisas que
são sistemas dinâmicos!
Um exemplo é um motor elétrico, que pode ser esquematizado como abaixo:
Outros exemplos: um pêndulo, um veículo, um satélite (quanto aos seus movimentos), uma população de microorganismos (quanto ao seu crescimento), o preço de um produto, etc. É claro que as áreas de aplicação são inúmeras: indústrias de várias naturezas, medicina (por exemplo, para estudar o comportamento de uma certa epidemia), bioengenharia, economia, etc.
Vamos imaginar que, em cada instante de tempo k = 0,1,2,.., os "dados mais importantes" daquilo que desejamos estudar sejam escritos na forma de um vetor x(k). Se estes valores, no instante k+1 forem dados como uma função dos valores no instante k, então aquilo que estudamos é um sistema.
Assim, um sistema dinâmico é tudo o que pode ser descrito por uma equação da forma
Nesta equação, k é o "tempo", x é chamado de estado, e u de entrada.
Exemplo: digamos que um motor tenha uma certa tensão aplicada v, que por ele passe certa corrente elétrica i, e que a velocidade angular do eixo é w. É possível descrever o comportamento do motor fazendo x= [ i w] (é um vetor) e u=v,e obtendo uma equação da forma acima. (Em breve vou fornecer o exemplo completo, com dados numéricos).
Um exemplo é um motor elétrico, que pode ser esquematizado como abaixo:
Outros exemplos: um pêndulo, um veículo, um satélite (quanto aos seus movimentos), uma população de microorganismos (quanto ao seu crescimento), o preço de um produto, etc. É claro que as áreas de aplicação são inúmeras: indústrias de várias naturezas, medicina (por exemplo, para estudar o comportamento de uma certa epidemia), bioengenharia, economia, etc.
Vamos imaginar que, em cada instante de tempo k = 0,1,2,.., os "dados mais importantes" daquilo que desejamos estudar sejam escritos na forma de um vetor x(k). Se estes valores, no instante k+1 forem dados como uma função dos valores no instante k, então aquilo que estudamos é um sistema.
Assim, um sistema dinâmico é tudo o que pode ser descrito por uma equação da forma
x(
k+1) =
f (
x(
k),
u(
k),
k,...)
k = 0,1,2,...
Nesta equação, k é o "tempo", x é chamado de estado, e u de entrada.
Exemplo: digamos que um motor tenha uma certa tensão aplicada v, que por ele passe certa corrente elétrica i, e que a velocidade angular do eixo é w. É possível descrever o comportamento do motor fazendo x= [ i w] (é um vetor) e u=v,e obtendo uma equação da forma acima. (Em breve vou fornecer o exemplo completo, com dados numéricos).
2) Sistemas Dinâmicos Estocásticos.
Há muitos
casos em que o comportamento de um sistema não é determinístico. Ou seja, os argumentos da
função f
acima não são suficientes para determinar o valor do estado x no
instante seguinte, mas apenas para estabelecer probabilidades. Estes sistemas
são chamados de estocásticos.
Um exemplo é o nosso motor, quando sobre ele incide ruído.
Nesta classe de sistemas, existe uma grande quantidade de questões a serem estudadas. Um exemplo é a questão de como determinar o "melhor" valor do estado em um certo instante, conhecendo apenas o "melhor" valor no instante anterior; é neste contexto que surge o famoso Filtro de Kalman, ainda em estudo em vários contextos.
De fato, a pesquisa em sistemas estocásticos é muito ativa, e envolve importantes pesquisadores em todo o mundo.
Um exemplo é o nosso motor, quando sobre ele incide ruído.
Nesta classe de sistemas, existe uma grande quantidade de questões a serem estudadas. Um exemplo é a questão de como determinar o "melhor" valor do estado em um certo instante, conhecendo apenas o "melhor" valor no instante anterior; é neste contexto que surge o famoso Filtro de Kalman, ainda em estudo em vários contextos.
De fato, a pesquisa em sistemas estocásticos é muito ativa, e envolve importantes pesquisadores em todo o mundo.
3) Sistemas Dinâmicos e Modelos Estocásticos.
Há forte
interação entre a teoria que estuda sistemas
dinâmicos e a que estuda probabilidades e modelos
estocásticos.
A relação surge, por
exemplo, quando ainda não conhecemos a função f
que descreve o sistema (e queremos
estabelecê-la), ou quando o sistema é estocástico e
queremos estimar o valor do estado do sistema. Nestas
situações, há uma série de técnicas,
como a de inferência Bayesiana, que podem ser utilizadas.
4) Sistemas Dinâmicos com Saltos Markovianos.
Em certas
ocasiões práticas,
a dinâmica do sistema
pode
mudar de forma abrupta. Voltando ao nosso motor, imagine que ele possa
"quebrar"
em determinados instantes. Quando ele está funcionando bem, ele
é
descrito por uma dasequações acima; quando falhar, ele
passa
a ser descritopor uma outra equação similar, na qual
apenas
a função muda,
x(k+1
) =
g(x(k), u(k), k
,...)
Para não ter
que trabalhar com duas funções (f e g), podemos
criar uma variável r
(t
) que assume o
valor 0 quando o sistema
está operando e 1
quando o sistema está em falha, e unificamos a
notação fazendo:
x(k+1
) = h
(x
(k), u
(k), t
, r
(t
)...)
sendo h (.)=f (.) sempre r (t)=0 (instantes em que o motor está funcionando) e h(.)= g(.) caso contrário (quando ele está em falha).
Claro, não é preciso que se trate apenas de "falhas"/"não falhas". Podemos descrever outros fenômenos, como interferência ambiental, mudança de"humor" do mercado (em sistemas econômicos), etc.
Quando a mudança de um modo de operação para outro ocorre de acordo com uma certa probabilidade, dependente apenas do modo atual , r (t ) é chamado de estado de Markov. Assim, o termo"Markoviano" refere-se a uma simplificação (a de que não há dependência de valores passados, mas apenas do presente).
sendo h (.)=f (.) sempre r (t)=0 (instantes em que o motor está funcionando) e h(.)= g(.) caso contrário (quando ele está em falha).
Claro, não é preciso que se trate apenas de "falhas"/"não falhas". Podemos descrever outros fenômenos, como interferência ambiental, mudança de"humor" do mercado (em sistemas econômicos), etc.
Quando a mudança de um modo de operação para outro ocorre de acordo com uma certa probabilidade, dependente apenas do modo atual , r (t ) é chamado de estado de Markov. Assim, o termo"Markoviano" refere-se a uma simplificação (a de que não há dependência de valores passados, mas apenas do presente).