topologia:exemplo:0_1_cobertura

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T17:22:36+00:00

Compacto Via lema da sub-base de Alexander Note que $\mathcal{B}=\{[0,b[:b\in]0, 1]\}\cup\{]a,1]:a\in[0,1[\}$ é uma sub-base para $[0,1]$. Sejam $\mathcal{C}\subset\mathcal{B}$ uma cobertura para $[0, 1]$ e $\beta=\sup\{b\in[0,1]:[0,b[\in\mathcal{C}\}$. Note que $\beta$ não é coberto por algum $[0,b[\in\mathcal{C}$, logo, existe $a$ tal que $]a,1]\in\mathcal{C}$ e $\beta\in]a,1]$. Como $\beta$ é supremo, existe $b$ tal que $a

topologia:exemplo:0_1_conexidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T17:23:37+00:00

Conexo Segue de $[0,1]\subset\mathbb{R}$ ser intervalo. Localmente conexo Segue de ser localmente conexo por caminhos. Conexo por caminhos Segue de $[0,1]\subset\mathbb{R}$ ser intervalo. Demo. Também segue de ser conexo e localmente conexo por caminhos. Demo. Localmente conexo por caminhos $x\in[0,1]$$\mathcal{B}=\{]x-\epsilon,x+\epsilon[\cap[0,1]:\epsilon>0\}$$x$$\mathcal{B}$

topologia:exemplo:0_1_enumerabilidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-21T19:55:57+00:00

Bases locais enumeráveis e base enumerável Basta lembrar que são herdados por subespaços e satisfeitos por $\mathbb{R}$ com a topologia usual. Separável Segue de possuir base enumerável. Demo. Por exemplo, $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ é denso (em $[0,1]$) enumerável.

topologia:exemplo:0_1_n

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T17:21:22+00:00

$[0,1]^{\mathbb{N}}$ com topologia produto Vamos tratar do espaço topológico $([0,1]^{\mathbb{N}},\tau)$, em que $\tau$ é a topologia produto, ou de Tychonoff. Axiomas de separação * Satisfaz $T_{0}$ (Kolmogorov). * Satisfaz $T_{1}$ (Fréchet). * Satisfaz $T_{2}$ (Hausdorff). * Satisfaz $T_{3}$ e é regular. * Satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular (Tychonoff).$T_{4}$

topologia:exemplo:0_1_ncobertura

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T18:06:29+00:00

Compacto Segue do teorema de Tychonoff. Localmente compacto Segue de ser espaço de Hausdorff compacto. Paracompacto Segue de ser compacto.

topologia:exemplo:0_1_nconexidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T18:38:56+00:00

Conexo Segue de ser produto de conexos. Demo. Localmente conexo Segue de ser localmente conexo por caminhos. Conexo por caminhos Segue de ser produto de conexos por caminhos. Demo. Também segue de ser conexo e localmente conexo por caminhos. Demo. $(x_i)_{i\in\mathbb{N}}\in[0,1]^{\mathbb{N}}$$[0,1]$$\mathcal{B}_i$$x_i$$A=\prod_{i\in\mathbb{N}}V_i$$V_i\in\mathcal{B}_i$$i\in F$$V_i=[0,1]$$F\subset\mathbb{N}$$A$$A$$(x_i)_{i\in\mathbb{N}}$

topologia:exemplo:0_1_nenumerabilidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-16T20:27:52+00:00

Bases locais enumeráveis, base enumerável e separável Basta lembrar que são preservados por produto enumerável e satisfeitos por $[0,1]$ com a topologia usual.

topologia:exemplo:0_1_noutras

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T13:04:55+00:00

Contrátil Seja $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ uma função constante. Considere a função $H:[0,1]^{\mathbb{N}}\times[0,1]\rightarrow[0,1]^{\mathbb{N}}$ dada por $H((x_n)_n,t)=((1-t)x_n+tc_n)_n$. Como $[0,1]$ é convexo, $(1-t)x_n+tc_n\in[0,1]$ para todo $n$, donde $((1-t)x_n+tc_n)_n\in[0,1]^{\mathbb{N}}$, então $H$ está bem definida. Ademais, cada coordenada de $H$ é contínua. Note que $H((x_n)_n,0)=(x_n)_n$ e $H((x_n)_n,1)=(c_n)_n$. Logo $H$ é homotopia entre $Id_{[0,1]^{\mathbb{N}}}$ e $(c_n)_{n\in\…

topologia:exemplo:0_1_nseparacao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-19T16:24:50+00:00

$T_0$, $T_1$, $T_2$, $T_3$ e regular Basta lembrar que são preservados por produto e satisfeitos por $[0,1]$ com a topologia usual. $T_{3\frac{1}{2}}$ e completamente regular Segue de ser espaço de Hausdorff localmente compacto. $T_4$ e normal Segue de ser espaço de Hausdorff compacto.

topologia:exemplo:0_1_outras

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T13:05:01+00:00

Contrátil Segue de $[0,1]\subset\mathbb{R}$ ser convexo. Metrizável e completamente metrizável Basta considerar a métrica herdada de $\mathbb{R}$ com a métrica usual. Baire Segue de ser espaço de Hausdorff compacto. Demo. Zero-dimensional Basta notar que $[0,1]$ não pode admitir base de abertos fechados porque, sendo conexo, tem apenas $\emptyset$$[0,1]$

topologia:exemplo:0_1_separacao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-19T16:24:11+00:00

$T_0$, $T_1$, $T_2$, $T_3$ e regular Basta lembrar que são herdados por subespaços e satisfeitos por $\mathbb{R}$ com a topologia usual. $T_{3\frac{1}{2}}$ e completamente regular Segue de ser espaço de Hausdorff localmente compacto. $T_4$ e normal Segue de ser espaço de Hausdorff compacto.

topologia:exemplo:arensfort

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:49:00+00:00

Espaço de Arens-Fort Definição: O espaço topológico de Arens-Fort é o conjunto $\mathbb{Z^2_+}$ munido de uma topologia $\tau$ de modo que cada par ordenado com exceção da origem é um aberto. E dada uma vizinhança $V$ aberta da origem, o conjunto $Y_m= \{n |(m,n) \notin V \} $, com $m \in \mathbb{Z_+}$ fixo, é finito a menos para um número finito de valores de $m$$\mathbb{Z^2_+}$$C_m=\{(m,n)|n \in \mathbb{Z_+}\}$$m \in \mathbb{Z_+}$

topologia:exemplo:arensfort0dim

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:14:32+00:00

É zero-dimensional Demonstração: Considere a família formada pelos conjuntos unitários de pontos de $\mathbb{Z^2_+}\setminus (0,0)$ e pelos abertos que contém a origem. Note que, dado um aberto $A$ qualquer, se $(0,0)\in A$ então $A$ está na família e se $(0,0)\notin A$ então $A=\bigcup_{p\in A}\{p\}$ é uma união de abertos . Ou seja, tal família é

topologia:exemplo:arensfortbaseenumeravel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T15:09:35+00:00

Não possui base enumerável Demonstração: Como o espaço de Arens-Fort não possui base local enumerável, segue que não possui base enumerável. Pois base enumerável $\Rightarrow$ base local enumerável.

topologia:exemplo:arensfortbaselocalenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T14:55:35+00:00

Não possui base local enumerável Demonstração: O espaço de Arens-Fort não é um espaço de Fréchet-Urysohn, portanto não admite base local enumerável.

topologia:exemplo:arensfortcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T16:35:16+00:00

Não é compacto Demonstração: Como o espaço de Arens-Fort é de Haussdorff não localmente compacto e Hausdorff compacto $\Rightarrow$ localmente compacto, ele não é compacto.

topologia:exemplo:arensfortcompmetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:51:36+00:00

Não é completamente metrizável Demonstração: O espaço de Arens-Fort não é metrizável, portanto não é completamente metrizável.

topologia:exemplo:arensfortconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:30:04+00:00

Não é conexo Demonstração: Note que dado $\{p\} \in \mathbb{Z^2_+},\ p \neq (0,0)$, temos $\{p\} \cup \mathbb{Z^2_+}\setminus\{p\} = \mathbb{Z^2_+}$, com $\{p\} \cap \mathbb{Z^2_+}\setminus\{p\} = \emptyset$. Portanto, o espaço de Arens-Fort não é conexo.

topologia:exemplo:arensfortconexoporcaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:36:41+00:00

Não é conexo por caminhos Demonstração: O espaço de Arens-Fort não é conexo e sabemos que conexo por caminhos $\Rightarrow$ conexo. Portanto, o espaço de Arens-Fort não é conexo por caminhos.

topologia:exemplo:arensfortlocalmentecompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:02:29+00:00

Não é localmente compacto Demonstração: Suponha $(\mathbb{Z^2_+},\tau)$ localmente compacto e uma vizinhança compacta $V \subset \mathbb{Z^2_+}$ da origem. Pela definição, sabemos que existe $m_p\in \mathbb{N}$ tal que o conjunto $Y_{m_p}=\{n\ | \ (m_p,n) \notin V\}$ é finito e portanto $P_{m_p}=\{(m_p, n)\ |\ (m_p,n) \in V\}$ é um conjunto infinito. Repare, que $P_{m_p}$ é uma união de abertos, logo é um aberto. Tome então a cobertura de $V$$\mathcal{A}= \{\{(m_p, n)\}\ |\ (m_p, n)\in V\} \cu…

topologia:exemplo:arensfortmetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:44:29+00:00

Não é metrizável Demonstração: O espaço de Arens-Fort é separável e não admite base enumerável. Portanto, não é metrizável.

topologia:exemplo:arensfortseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T15:22:52+00:00

É separável Demonstração: $\mathbb{Z}$ é enumerável, logo $\mathbb{Z^2_+}$ é enumerável e, portanto, $(\mathbb{Z^2_+}, \tau)$ é separável.

topologia:exemplo:arensfortt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T23:48:07+00:00

Satisfaz $T_1$ Demonstração: Dados $p,q \in \mathbb{Z^2_+}$ com $p \neq q$. Necessariamente um dos pontos é diferente da origem e assim ao menos um deles é aberto. Podemos supor, sem perdas, $p=(m_p,n_p)$ aberto, então $p \in \{p \}$ e $ q \in \mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\}$. Note que, $$ (0,0) \in \mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\},$$ $$Y_{m_p}= \{ n\ |\ (m_p,n) \notin \mathbb{Z^2_+}\setminus \{(m_p,n_p)\}\ = \{ n_p \}$$ e $$Y_{m \neq m_p} = \{ n\ |\ (m,n) \notin \mathbb{Z^2_+}\setminus \{(m_p…

topologia:exemplo:arensfortt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:21:49+00:00

Satisfaz $T_2$ Demonstração: Dados $p,q \in \mathbb{Z^2_+}$ com $p \neq q$. Necessariamente um dos pontos é diferente da origem e assim ao menos um deles é aberto. Podemos supor, sem perdas, $p$ aberto. Note que $p \in \{p \}$ e $ q \in \mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\}$. Como $\{p\},\ \mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\} \in \tau$ e $\{p\}\cap \mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\} = \emptyset$, $(\mathbb{Z^2_+},\tau)$ é $T_2$. Demonstração Alternativa: O espaço de Arens-Fort é regular, então é de…

topologia:exemplo:arensfortt3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T00:28:45+00:00

Satisfaz $T_3$ Demonstração: Dado $p \in \mathbb{Z^2_+}\setminus\{(0,0)\}$ e $F\ \subset \ X $ que não contém $p$. Note que $\{p \}$ e $\mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\}$ são abertos disjuntos contendo $p$ e $F$ respectivamente. Observe que é análogo para o caso $p=(0,0)$. Portanto, $(\mathbb{Z^2_+},\tau)$ é $T_3$. Sendo assim, como também satisfaz $T_1$, é regular. Demonstração alternativa:

topologia:exemplo:arensfortt3_1_2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T00:47:11+00:00

Satisfaz $T_{3 \frac{1}{2}}$ e é Tychonoff Demonstração: O espaço de Arens-Fort é normal, então é completamente regular e, como satisfaz $T_1$, é Tychonoff.

topologia:exemplo:arensfortt4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T01:04:06+00:00

Satisfaz $T_4$ Demonstração: Tome $F,G \subset (\mathbb{Z^2_+},\tau)$ fechados disjuntos e suponha que $(0,0)\notin F$. Podemos afirmar que $F$ é aberto, pois $F\bigcup_{p\in \mathbb{Z^2_+}\setminus \{(0,0)\}}\{p\}$, ou seja, uma união de abertos. Então note que $G\subset \mathbb{Z^2_+}\setminus F \in \tau, F\in \tau$ e $\mathbb{Z^2_+}\setminus F \cap F = \emptyset$. Portanto, $(\mathbb{Z^2_+},\tau)$ é normal.

topologia:exemplo:arensfortto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T23:42:50+00:00

Satisfaz $T_0$ Demonstração: O espaço de Arens-Fort é de Hausdorff, logo satisfaz $T_1$ e, portanto, $T_0$. Demonstração alternativa: Dados $p,q \in \mathbb{Z^2_+}$ com $p \neq q$. Note que, necessariamente, um dos pontos é diferente da origem e assim ao menos um deles é aberto. Podemos supor, sem perdas, $p$$p \in \{p \}$$q \notin \{p\}$$(\mathbb{Z^2_+},\tau)$

topologia:exemplo:compactificacaoq

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T00:11:44+00:00

Compactificação de um ponto de $\mathbb{Q}$ Compactificação de um ponto de um espaço topológico Seja $\left( X, \tau \right)$ um espaço topológico não vazio. Seja $p \notin X$. Definimos a compactificação de um ponto de $X$ como $$ X^{*} = X \cup \{ p \} $$ cuja topologia $\tau^{*}$ é tal que $A \subset X^{*}$ é aberto se $A \in \tau$ ou $A = K^{C}$ sendo $K$$\left( X, \tau \right)$$\left( X^{*}, \tau^{*} \right)$$\mathcal{C}$$X^{*}$$A \in \mathcal{C}$$p \in A$$A \notin \tau$$p \notin X$$\tau^…

topologia:exemplo:compactificacaoqconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T22:59:33+00:00

$\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ é conexo Demonstração Vamos mostrar que os únicos conjuntos fechados e abertos são $\mathbb{Q}^{*}$ e $\emptyset$. Suponha que exista um conjunto fechado e aberto não trivial $A \subset \mathbb{Q}^{*}$. Suponha sem perda de generalidade que $p \in A$ (caso contrário, poderíamos tomar $A^{C}$$A \in \tau^{*}$$\mathbb{Q}$$\tau^{*}$$A^{C}$$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}$$$ A^{C} \text{ é compacto } \implies A^{C} \text{ não contém nenhum subconjunto aberto de } \m…

topologia:exemplo:compactificacaoqenumerabilidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T23:53:27+00:00

$\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ não satisfaz os dois primeiros axiomas de enumerabilidade, mas é separável Demonstração Parte 1: $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade Precisaremos do seguinte resultado:$\left( X, \tau \right)$$\left( x_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$$x_{n} \rightarrow x$$x_{n} \rightarrow y$$\implies x = y$$X$$T_{2}$$\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$$T_{2}$$\mathbb{Q}^{*}$$\left( x_{n} \right)_{n \in \mathb…

topologia:exemplo:compactificacaoqseparacao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T12:49:57+00:00

$\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ é $T_{0}$ e $T_{1}$, mas não satisfaz nenhum outro axioma de separação Demonstração De fato, qualquer compactificação de um ponto $\left( X^{*}, \tau^{*} \right)$ é um espaço $T_{1}$ se, e somente se, $\left( X, \tau \right)$ é um espaço $T_{1}$. Como $\mathbb{Q}$ com a topologia induzida dos reais é $T_{1}$$\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$$T_{1}$$\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$$T_{0}$$\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$$T_{2}$$\l…

topologia:exemplo:compnregt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-27T16:33:24+00:00

$(X,\tau)$ é Hausdorff Sejam $x\neq y$ elementos de $X$. Temos que considerar as seguintes possibilidades: * $x=p$ e $y=(y_1,y_2)\in S$: Então seja $n>y_1+2$ e temos $x\in U_n \bigcup \{p\}$, $y \in A_{y_1}$ e esses abertos são disjuntos. * $x=(x_1,0) \in S$, $y=(y_1,0)\in S$: Podemos tomar os conjuntos $W_x=A_{x_1}\setminus A_{y_1}$ e $W_y=A_{y_1}\setminus A_{x_1}$. Note que são abertos do tipo (2), disjuntos e separam $x$$y$$x=(x_1,x_2)\in S$\(y=(y_1…

topologia:exemplo:compnregt3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-27T17:44:44+00:00

$(X, \tau)$ é regular Um espaço topológico é $T_3$ se, e somente se, todo ponto admite um sistema fundamental de vizinhanças fechadas (veja regular). Seja $(x,y)\in X$. Defina $\mathcal{B}'=\{\{(x,y)\}: (x,y)\in S \text{, e } y>0\} \bigcup \{A_x\setminus F : x\in \mathbb{R} \text{, e } F \text{ é finito e não contém } (x,0)\}$. Os elementos de $\mathcal{B}'$ são abertos e fechados nas topologias de $S$ e de $X$, e formam uma base de $S$$(x,y)\in S$$\mathcal{B}'_{(x,y)}$\(\m…

topologia:exemplo:compnregzerodim

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T17:18:45+00:00

$(X,\tau)$ não é zero-dimensional Se um espaço topológico é zero-dimensional, ele é completamente regular, como pode ser visto em LINKAR. Como $(X,\tau)$ não é completamente regular, temos que $(X,\tau)$ não é zero-dimensional.

topologia:exemplo:compregnt4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-27T17:48:42+00:00

$(X,\tau)$ não é $T_4$ Segue do fato que normal implica completamente regular, e sabemos que $(X,\tau)$ não é completamente regular.

topologia:exemplo:compregnt312

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-27T17:43:27+00:00

$(X,\tau)$ não é completamente regular Funções contínuas * Para começar, observe que se $J\subset A_x$ é infinito, temos que $(x,0)\in \bar{J}$ (usando a base local de $(x,0)$ apresentada em Bases para $(X,\tau)$). * Suponha que $g:S\rightarrow \mathbb{R}$ seja contínua e $g((x,0))=0$ para algum $x\in \mathbb{R}$. Afirmo que o conjunto $J_n=g^{-1}([\frac{1}{n}, \infty)) \bigcap A_x$ possui no máximo finitos pontos. De fato, se o conjunto $J_n\subset A_x$\((x,0)\in \bar{…

topologia:exemplo:conex

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-02T10:02:48+00:00

É conexo por caminhos, logo é conexo Proposição Se $X$ é um espaço topológico contrátil, então é conexo por caminhos. Demonstração. Considere $H:X\times [0,1]\rightarrow X$ uma homotopia entre $Id_X$ e a aplicação constante $X\rightarrow \{p\},$ para todo $p\in X.$ Logo para cada ponto $x\in X,$ a aplicação $t\rightarrow H(x,t)$$x$$p.$$~~~~~~\square$$C_{p}([0,1])$$~~~~~~~\square$

topologia:exemplo:contrt

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T18:32:25+00:00

É contrátil Demonstração. Note que $$Id_{C_{p}([0,1])}:C_{p}([0,1])\rightarrow C_{p}([0,1])$$ $$~~~~~~~~~~~~~~~~~~f \mapsto f,$$ é homotópica à função nula. De fato, considere a homotopia $$H: C_{p}([0,1]) \times [0,1] \rightarrow C_{p}([0,1])$$ $$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(f,t)\mapsto (1-t)Id_{C_{p}([0,1])}(f),$$ que é contínua, uma vez que é o produto de funções contínuas. $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\square$

topologia:exemplo:countcc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T00:02:40+00:00

É CCC Demonstração. Já que $C_{p}([0,1])$ é separável, então é $CCC.$ $~~~~~~\square$

topologia:exemplo:cp_0_1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-02T17:23:10+00:00

A topologia da convergência pontual Conhecemos o espaço $C(X)\subset \mathbb{R}^{X}$ das funções reais contínuas definidas em um espaço topológico $X.$ A seguir, veremos uma das mais naturais topologias associadas a $C(X)$, a topologia da convergência pontual $\tau_p.$ Recebe esse nome pelo fato de que uma sequência $(f_n)$$f$$(C(X),\tau_p)$$f_n(x)\rightarrow f(x)$$x\in X.$$A\subset X$$\varepsilon>0$$$V(f,A,\varepsilon)=\{g\in C(X);~|g(x)-f(x)|<\varepsilon~\text{para todo}~x\in A\},$$$\mathbb{R…

topologia:exemplo:cp_r

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T01:54:58+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ Definição: O espaço $C_p (\mathbb{R})$ denotará o conjunto de funções contínuas de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, com a topologia produto, i.e., é o espaço de todas as funções contínuas de valor real definidas em $\mathbb{R}$ (simbolizado por $C(\mathbb{R})$) dotado da topologia de subespaço herdado do espaço $\mathbb{R}^\mathbb{R}(=\prod_{x\in\mathbb{R}}\mathbb{R})$$\mathbb{R}$$C_p(\mathbb{R})$$C_p(\mathbb{R})$$\mathbb{R}^\mathbb{R}$$\prod_{x\in \mathbb{R}}U_x$$U_x$$\mathbb{…

topologia:exemplo:cp_r_baseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T16:03:20+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ não possui base enumerável Demonstração. Suponha que $C_p(\mathbb{R})$ tenha uma base enumerável, então todo $f\in C_p(\mathbb{R})$ tem uma base local enumerável (devido a que segundo axioma de enumerabilidade implica primeiro axioma de enumerabilidade), o que é absurdo já que $C_p (\mathbb{R})$ não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.

topologia:exemplo:cp_r_baselocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T15:23:56+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ não possui bases locais enumeráveis Demonstração. Provaremos que não existe base local enumerável para algum $f\in C_p(\mathbb{R})$. Suponha que $\{U_n:n\in\mathbb{N}\}$ seja essa base para $f$. Para cada $n\in\mathbb{N}$, fixe um conjunto aberto padrão $W_n:= [x_1^n, \ldots, x_{k_n}^n; O_1^ n, \ldots, O_{k_n}^n]$ de modo que $f\in W_n\subset U_n$. É evidente que $\mathcal{B} =\{W_n:n\in\mathbb{N}\}$ também é um base local enumerável para $f$$P = \{x_j^i: i\in\mathbb{N}, j\i…

topologia:exemplo:cp_r_ccc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T00:43:00+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ é ccc Demonstração. Como $C_p(\mathbb{R})$ é separável, $C_p(\mathbb{R})$ é ccc pelo fato de que qualquer espaço separável tem a condição de cadeia contável (ccc).

topologia:exemplo:cp_r_compacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T17:13:04+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ não é compacto Demonstração. Suponha que $C_p(\mathbb{R})$ é compacto, então é compacto Hausdorff (visto que $C_p(\mathbb{R})$ é $T_2$). Devido a que Hausdorff-compacidade implica compacidade local, temos que $C_p(\mathbb{R})$ é localmente compacto, o que é uma contradição pelo fato de C_p(\mathbb{R}) não é localmente compacto.

topologia:exemplo:cp_r_compmetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T00:06:51+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ não é completamente metrizável Demonstração. Isso decorre diretamente dos fatos de que $C_p(\mathbb{R})$ não é metrizável e a metrizabilidade completa, por definição, necessariamente implica metrizabilidade.

topologia:exemplo:cp_r_compregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T03:39:29+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular Demonstração. Em geral, o produto arbitrario de espaços $T_{3\frac{1}{2}}$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ . Logo, como $\mathbb{R}$ com a topologia usual é $T_{3\frac{1}{2}}$ , então $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ . Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ e completamente regular já que $C_p(\mathbb{R})$ é subespaço de $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R},$ e $C_p(\mathbb{R})$ é $T_1$.…

topologia:exemplo:cp_r_conexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T19:50:18+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ é conexo Demonstração. Devido a que $C_p(\mathbb{R})$ é conexo por caminhos, então $C_p(\mathbb{R})$ é conexo, pois conexidade por caminhos implica conexidade.

topologia:exemplo:cp_r_conexocaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T19:43:17+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ é conexo por caminhos Demonstração. Seja $f\in C_p(\mathbb{R})$. Seja 0 a função zero em $C_p(\mathbb{R})$, e $H: [0, 1] \to C_p(\mathbb{R})$ definido por $s\mapsto H_s$ (onde $H_s: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ com $H_s(t) = (1-s)f(t), \forall t \in \mathbb{R}$). Considere $\pi_r: \mathbb{R}^\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ como a projeção na $r$-ésima coordenada para todo $r \in \mathbb{R}$. Então, $\pi_r \circ H (s \mapsto (1-s)f(r))$ é contínua para cada $r \in \mathbb{R}$. Portant…

topologia:exemplo:cp_r_contratil

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-04T08:15:54+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ é contrátil Demonstração. De fato, para a função zero 0 $\in C_p(\mathbb{R})$, podemos tomar a homotopia, $H:C_p(\mathbb{R})\times [0,1]\to C_p(\mathbb{R})$ definido por $H(f,t)= (1-t)f$, entre $Id_{C_p(\mathbb{R})}$ e 0.

topologia:exemplo:cp_r_lindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T18:29:27+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ é de Lindelöf Demonstração. Seja $\mathcal{B}$ uma base enumerável para o espaço $\mathbb{R}$ com a topologia usual. Para cada $B\subset \mathcal{B}$ e para qualquer intervalo aberto $(a, b)$ na linha real com extremos racionais, considere o seguinte conjunto: $$[B, (a, b)] = \{f \in C(\mathbb{R}): f(B) \subset (a, b)\}. \tag1$$ Então, a coleção de todos os conjuntos dessa forma em $(1)$$\mathcal{N}$$[B, (a, b)]$$\mathcal{N}$$C_p(\mathbb{R})$$C_p(\mathbb{R})$$f\in C_p(\mat…

topologia:exemplo:cp_r_loccompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T17:19:20+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ não é localmente compacto Demonstração. $C_p(\mathbb{R})$ não é localmente compacto, pois $\mathbb{R}$ não é finito, e $C_p (X)$ (onde $X \neq \varnothing$) é localmente compacto iff $X$ é finito.

topologia:exemplo:cp_r_metrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T20:00:42+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ não é metrizável Demonstração. Suponha que $C_p(\mathbb{R})$ é metrizável. Como $C_p(\mathbb{R})$ é separável, então é 2nd countable (pois todo espaço métrico separável satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade), o que é uma contradição com o fato de que $C_p(\mathbb{R})$ não tem base enumerável.

topologia:exemplo:cp_r_normal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T04:31:48+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ satisfaz $T_{4}$ e é normal Demonstração. Sejam $A, B$ dois conjuntos fechados disjuntos em $C_p(\mathbb{R})$. Pelo fato de que $C_p (\mathbb{R})$ é regular, para qualquer $f\in A$, existem conjuntos abertos $U_f, G_f$ tais que $f\in U_f$ e $B \subset G_f, U_f \cap G_f = \varnothing$. Portanto, $G_f^c \subset B^c$ e $U_f \subset G_f^c$. Como $G_f$ é aberto, $G_f^c$ é fechado. Assim, temos que $$U_f \subset\overline{U_f} \subset G_f^c \subset B^c.$$$\mathcal{W} = \{U_f: f \i…

topologia:exemplo:cp_r_paracompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T19:15:38+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ é paracompacto Demonstração. Seja $\mathcal{U}$ uma cobertura aberta de $C_p(\mathbb{R})$. Para cada $f\in C_p(\mathbb{R})$, escolha as vizinhanças abertas $U_f, V_f$ de $f$ de modo que $\overline{V_f}\subset U_f \subset W$, para algum $W \in \mathcal{U}$. Como $C_p(\mathbb{R})$ é Lindelof, podemos tomar um conjunto enumerável $A = \{f_i: i \in \mathbb{N}\} \subset C_p(\mathbb{R})$ tal que $C_p(\mathbb{R}) = \bigcup \{V_{f_i}: i \in \mathbb{N}\}$. Considerando $W_1 =U_{f_1}…

topologia:exemplo:cp_r_regular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T02:08:14+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ satisfaz $T_{3}$ e é regular Demonstração. Em geral, o produto arbitrario de espaços $T_3$ é $T_3$. Logo, como $\mathbb{R}$ com a topologia usual é $T_3$, então $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}$ é $T_3$. Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ é $T_3$ e regular já que $C_p(\mathbb{R})$ é subespaço de $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R},$ e $C_p(\mathbb{R})$ é $T_1$.

topologia:exemplo:cp_r_separavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T16:59:47+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ é separável Demonstração. Seja $\mathcal{B} = \{\{O_1, \ldots, O_n\}: n \in \mathbb{N}, O_i = (a_i, b_i)$ é um intervalo aberto racional para todos os $i\leq n$ e $[a_i, b_i] \cap [a_j, b_j] = \varnothing$, se $i \neq j\}$. Dado $n \in \mathbb{N}, \{O_1, \ldots, O_n \}=:O^n\in \mathcal{B}, (q_1, \ldots, q_n)=:q^n$ (um $n$-tupla de números racionais), fixe $f_{O^n, q^n} \in C_p(\mathbb{R})$ de modo que $f_{O^n, q^n}(O_i) = \{q_i\}$ para todos os $i\leq n$, que é possível basi…

topologia:exemplo:cp_r_t0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T03:14:43+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ satisfaz $T_{0}$ Demonstração. Em geral, o produto arbitrario de espaços $T_0$ é $T_0$. Logo, como $\mathbb{R}$ com a topologia usual é $T_0$, então $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}$ é $T_0$. Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ is $T_0$ já que $C_p(\mathbb{R})$ é subespaço de $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}.$

topologia:exemplo:cp_r_t1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T03:19:35+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ satisfaz $T_{1}$ Demonstração. Em geral, o produto arbitrario de espaços $T_1$ é $T_1$. Logo, como $\mathbb{R}$ com a topologia usual é $T_1$, então $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}$ é $T_1$. Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ is $T_1$ já que $C_p(\mathbb{R})$ é subespaço de $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}.$

topologia:exemplo:cp_r_t2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T03:20:45+00:00

$C_p(\mathbb{R})$ satisfaz $T_{2}$ Demonstração. Em geral, o produto arbitrario de espaços $T_2$ é $T_2$. Logo, como $\mathbb{R}$ com a topologia usual é $T_2$, então $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}$ é $T_2$. Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ is $T_2$ já que $C_p(\mathbb{R})$ é subespaço de $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}.$

topologia:exemplo:ebairequetop

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T17:04:00+00:00

$X$ é um espaço de Baire Seja $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ uma família de abertos densos em $X$. Então para cada $n\in \mathbb{N}$ e conjunto $\{(x,y)\}\subset \mathbb{R}^2$ com $y\in (0,2]$, temos que $A_n$ intersecta $\{(x,y)\}$, por esse conjunto ser aberto, logo $(x,y)\in A_n$. Daí, concluímos que $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \, 0

topologia:exemplo:enum1sequenciast2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T00:02:30+00:00

Seja $\left( X, \tau \right)$ um espaço topológico que satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. Se para qualquer sequência $\left( x_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ for válido que $x_{n} \rightarrow x$ e $x_{n} \rightarrow y$ $\implies x = y$, então $X$ é um espaço $T_{2}$. $X$$T_{2}$$x, y \in X$$U$$x$$V$$y$$U \cap V \neq \emptyset$$\{ A_{n} : n \in \mathbb{N} \}$$\{ B_{n} : n \in \mathbb{N} \}$$x$$y$$n \in \mathbb{N}$$x_{n} \in A_{n} \cap B_{n}$$\left( x_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$$x$…

topologia:exemplo:esbenumfechado

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-01T10:43:02+00:00

Todo conjunto enumerável é fechado na reta esburacada Seja $A$ um subconjunto enumerável, logo $A^{c} = (\bigcup_{n \in \mathbb{N}}(-n, n)) \setminus A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}((-n, n) \setminus A)$. Note que $A^{c}$ é aberto, pois pode ser escrito como uma união de conjuntos abertos, e portanto $A$ é fechado.

topologia:exemplo:esbhaus

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:20:28+00:00

A reta esburacada satisfaz $T_2$ (Hausdorff) Sejam $x,y \in \mathbb{R}$ tais que $x

topologia:exemplo:esbnaobaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:35:00+00:00

A reta esburacada não possui base enumerável Como o 2º axioma da enumerabilidade implica o 1º, e a reta esburacada não possui bases locais enumeráveis, então conclui-se que a reta esburacada não possui base enumerável.

topologia:exemplo:esbnaobaselocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:31:12+00:00

A reta esburacada não possui bases locais enumeráveis Basta notar que $0 \in \overline{(0, 1)}$, mas não existe uma sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ em $(0, 1)$ tal que $x_n \rightarrow 0$. Caso contrário, existiria um $N \in \mathbb{N}$ tal que $x_n = 0, \forall n \ge N$ e portanto $0$ pertenceria à $(0, 1)$.

topologia:exemplo:esbnaocompreg

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:25:02+00:00

A reta esburacada não é completamente regular Como completamente regular $\Rightarrow$ regular e já sabemos que a reta esburaca não é regular, concluímos que ela também não é completamente regular.

topologia:exemplo:esbnaometric

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-07T13:49:35+00:00

A reta esburacada não é metrizável Basta notar que todo espaço métrico possui bases locais enumeráveis e como a reta esburacada não satisfaz o 1º axioma de enumerabilidade, segue que ela não é metrizável.

topologia:exemplo:esbnaonormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:27:11+00:00

A reta esburacada não é normal Como normal implica regular e a reta esburacada não satisfaz o último, conclui-se que a reta esburacada não é normal.

topologia:exemplo:esbnaoreg

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:25:53+00:00

A reta esburacada não é regular Suponha que existam abertos disjuntos $A$ e $B$ tais que $0 \in A$ e $\{\frac{1}{n}:n \in \mathbb{N}\} \subset B$, nessas condições tome $0 < \varepsilon \in \mathbb{Q}$ e $C$ um conjunto enumerável tal que $0 \in (-\varepsilon, \varepsilon) \setminus C \subset A$. Note que existe $\alpha=\frac{1}{n} \in (-\varepsilon, \varepsilon)$ e para todo $0<\delta \in \mathbb{Q}$ segue que $(-\varepsilon, \varepsilon) \cap (\alpha-\delta, \alpha+\delta) \ne \emptyset$…

topologia:exemplo:esbnaosep

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-07T13:45:17+00:00

A reta esburacada não é separável Seja $D$ um subconjunto enumerável da reta esburacada, note que $A = (a, b) \setminus D$, onde $a < b \in \mathbb{Q}$ é um aberto e $A \cap D = \emptyset$. Logo, a reta esburacada não admite um subconjunto enumerável denso.

topologia:exemplo:esbseqconst

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-01T10:43:38+00:00

As sequências convergentes na reta esburacada são quase constantes Seja $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência convergente, note que $\{x_n|n \in \mathbb{N}\}$ é um conjunto enumerável e portanto fechado, logo se $x_n \rightarrow x$, então $x \in \overline{\{x_n|n \in \mathbb{N}\}} = \{x_n|n \in \mathbb{N}\}$. Com isso, existe um $N \in \mathbb{N}$ tal que $x_n = x, \forall n \ge N$ e portanto, $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é quase constante.

topologia:exemplo:esbt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:21:54+00:00

A reta esburacada satisfaz $T_0$ (Kolmogorov) Como $T_2 \Rightarrow T_1 \Rightarrow T_0$, tem-se que a reta esburacada satisfaz $T_0$.

topologia:exemplo:esbt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:23:27+00:00

A reta esburacada satisfaz $T_1$ (Fréchet) Como $T_2 \Rightarrow T_1$ conclui-se que a reta esburacada satisfaz $T_1$.

topologia:exemplo:espacodecantor

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T23:10:30+00:00

Espaço de Cantor O espaço $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ é chamado de Espaço de Cantor. Como de costume, para todo $ n \in \mathbb{N} $ denotamos por $ p_{n}: \{0,1\}^{\mathbb{N}} \to \{0,1\} $ a projeção da $ n $-ésima coordenada. Axiomas de separação * Satisfaz $ T_{0} $ (Kolmogorov) * Satisfaz $ T_{1} $ (Fréchet) * Satisfaz $ T_{2} $ (Hausdorff) * Satisfaz $ T_{3} $ e é regular * Satisfaz $ T_{3\frac{1}{2}} $ e é completamente regular (Tychonoff) * Satisfaz $ T_{4} $ e é normal Ax…

topologia:exemplo:espacoeuclidiano

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T14:12:34+00:00

$\mathbb{R}^n$ com a topologia usual Definição. A topologia usual de $\mathbb{R}^n$ é a topologia produto de $n$ cópias de $\mathbb{R}$ com a topologia usual. Ou seja, é a topologia gerada pelos conjuntos da forma $E_1 \times E_2 \times \ldots \times E_n$, onde cada $E_j$ é uma aberto em $\mathbb{R}$, para $j=1,\ldots,n$. No que segue, veremos que esta topologia é induzida por uma métrica em $\mathbb{R}^n$$d:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to [0, \infty) $$$d((x_1,x_2,\ldots,x_n),(y_1,y_2…

topologia:exemplo:espaco_de_hilbert

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T12:54:22+00:00

Espaço de Hilbert Intuitivamente, o espaço Hilbert é uma generalização do espaço Euclidiano, estendendo os métodos de álgebra e cálculo vetorial sem precisar se restringir a um número finito de dimensões. Definição: Um espaço Hilbert $H$$K$$\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$$H$$x = \{x_i\}$$x_i \in \mathbb{R}$$\sum x_i^2$$d(x,y) = [\sum(x_i - y_i)^2]^{1/2}$

topologia:exemplo:espaco_de_novak

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T20:06:15+00:00

Espaço de Novak Se $\mathbb{Z}^+$ denota o conjunto dos inteiros positivos com topologia discreta, e se $S$ é uma compactação de $Stone-Cech$ de $\mathbb{Z}^+$, iremos construir por indução transfinita, \url:, um certo subconjunto $P$ de $S$. Seja $F$ uma família de todos os subconjuntos enumeráveis de $S$$\Gamma$$2^c = card(S)$$P_A : A\in F$$S$$card(P_A) < 2^c, P_D\subset P_A$$D < A$$\hat{f}(A)\cap P_A = \oslash$$\hat{f}$$S = \beta(\…

topologia:exemplo:espseqbaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-20T22:16:00+00:00

Como $(X, \tau)$ é compacto de Hausdorff então é de Baire.

topologia:exemplo:espseqbaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-14T13:18:54+00:00

Como $(X, \tau)$ possui base local enumerável, sendo $X$ enumerável, implica que $(X, \tau)$ possui base enumerável.

topologia:exemplo:espseqcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-20T20:28:11+00:00

Seja $\mathcal{A} \subset \tau$, uma cobertura aberta qualquer de $X$, isto é, $\cup_{A \in \mathcal{A}} A = X$. Como $\infty \in X$, existe algum aberto $A_0 \in \mathcal{A}$ tal que $\infty \in A_0$. Assim, existe apenas uma quantidade finita de elementos de $\mathbb{N}$ que não estão em $A_0$, vamos denotar esses elemntos por $\{x_1, x_2, \cdots, x_n \}$. Além disso, para cada $i= 1 , \cdots, n$, existe $A_i \in \mathcal{A}$ tal que $x_i \in A_i$. Portanto, $A_0 \cup A_1 \cup \cdots \cup A_n …

topologia:exemplo:espseqcompregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T22:24:21+00:00

Como $(X, \tau)$ é localmente compacto de Hausdorff, segue que $(X, \tau)$ é completamente regular.

topologia:exemplo:espseqconexidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-20T21:31:44+00:00

Vamos mostrar que $(X, \tau)$ é totalmente desconexo, logo não pode ser conexo. Seja $A \subset X$ um conjunto com no mínimo dois pontos. Como $X = \mathbb{N} \cup \{\infty\}$, então existe algum $n \in \mathbb{N}$ tal que $n \in A$. Como $\{n\}$ e $X \setminus \{n\}$ são abertos em $X$, então $A \cap \{n\}$ e $A \cap (X \setminus \{n\})$ são abertos em $A$, não vazios e disjuntos, cuja a união é igual ao conjunto $A$$A$

topologia:exemplo:espseqconexidadecaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-20T21:47:41+00:00

Como $(X, \tau)$ não é conexo então não pode ser conexo por caminhos.

topologia:exemplo:espseqcontratil

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-20T22:11:31+00:00

Como $(X, \tau)$ não é conexo por caminhos então não pode ser contrátil.

topologia:exemplo:espseqlocalconexidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-20T21:44:17+00:00

Como todo subconjunto $A$ de $X$ com dois pontos ou mais é desconexo e todo aberto que contém $\infty$ é tal que apenas uma quantidade finita de elementos de $\mathbb{N}$ não pertence a ele, então $\infty$ não admite uma base local conexa. Portanto, $(X, \tau)$ não é localmente conexo.

topologia:exemplo:espseqloccompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-20T20:34:33+00:00

$(X, \tau)$ é um espaço compacto de Hausdorff, logo é localmente compacto.

topologia:exemplo:espseqlocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-30T14:03:29+00:00

Lembrando que $X = \mathbb{N} \cup \{ \infty \}$. Para cada $n \in \mathbb{N}$, $\mathcal{V}_n = \{ \{n \} \}$ é uma base local enumerável para $n$. De fato, claramente $\{ n \}$ é aberto e se $A \subset X$ é um aberto tal que $n \in A \Rightarrow n \in \{n\} \subset A$. Considere $$\mathcal{V}_{\infty} = \{ X \setminus \{ k \in \mathbb{N} \,\, | \,\, k \leq j \} \}_{j \in \mathbb{N}}. $$ Para cada $j \in \mathbb{N}$, claramente $\infty \in X \setminus \{ k \in \mathbb{N} \,\, | \,\, k \leq j\}$…

topologia:exemplo:espseqmetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-20T22:25:27+00:00

Como $(X, \tau)$ é regular e tem base enumerável então é metrizável.

topologia:exemplo:espseqnormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T22:31:38+00:00

Como $(X, \tau)$ é regular e enumerável segue que $(X, \tau)$ é normal, pois todo espaço regular enumerável é normal.

topologia:exemplo:espseqparacompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T22:39:06+00:00

$(X, \tau)$ é um espaço compacto logo é paracompacto.

topologia:exemplo:espseqregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-14T14:49:56+00:00

Dado $x \in X$, seja $V$ aberto tal que $x \in V$. Se $x \in X \setminus \{\infty \}$, então $\{x\}$ é claramente aberto e fechado, logo $x \in \{ x \} = \overline{\{ x \}} \subset V $. Se $x = \infty$, então por definição $X \setminus V$ é finito, isto é, $V$ é aberto e fechado, consequentemente $x \in V = \overline{V}$. Portanto, em todo caso, existe $A \subset X$ aberto tal que $x \in A \subset \overline{A} \subset V$. Com isso, mostramos que $(X, \tau)$ é $T_3$, como também é $T_1$$(X, \tau)…

topologia:exemplo:espseqseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-14T13:18:21+00:00

Como $(X, \tau)$ admite base enumerável então é separável.

topologia:exemplo:espseqt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-30T12:01:25+00:00

topologia:exemplo:espseqt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-30T12:07:41+00:00

Sejam $n,m \in X$, dois pontos distintos. Como $X = \mathbb{N} \cup \{ \infty \}$, tem-se que $m \in \mathbb{N}$ ou $n \in \mathbb{N}$. Supondo $n \in \mathbb{N}$, então $A = \{ n \}$ é um aberto tal que $n \in A$ e $m \notin A$. Além disso, veja que $X \setminus \{ n \}$ é aberto, pois $X \setminus \{ n \} = \{ \infty \} \cup (\mathbb{N} \setminus \{n\})$ e claramente $(\mathbb{N} \setminus \{n\}) \subset \mathbb{N}$ e $\mathbb{N} \setminus (\mathbb{N} \setminus \{n\}) = \{ n \}$ é finito. Log…

topologia:exemplo:espseqt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-30T12:10:48+00:00

Sejam $n,m \in X$, dois pontos distintos. Como $X = \mathbb{N} \cup \{ \infty \}$, tem-se que $m \in \mathbb{N}$ ou $n \in \mathbb{N}$. Supondo $n \in \mathbb{N}$, então $A = \{ n \}$ é um aberto tal que $n \in A$. Veja que $X \setminus \{ n \}$ é aberto, pois $X \setminus \{ n \} = \{ \infty \} \cup (\mathbb{N} \setminus \{n\})$ e claramente $(\mathbb{N} \setminus \{n\}) \subset \mathbb{N}$ e $\mathbb{N} \setminus (\mathbb{N} \setminus \{n\}) = \{ n \}$ é finito. Logo $B = X \setminus \{ n \}$…

topologia:exemplo:espvent

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-02T13:32:25+00:00

Espaço do Ventilador (Não enumerável) Definição: Considere $$ X = \{ (r,\frac{1}{n}) : r \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}_{>0}\}\cup\{ (r,0) : r \in \mathbb{R} \} $$ Com a topologia usual do $\mathbb{R}^2$. Considere também a seguinte relação de equivalência sobre $X$: $$x\sim y \text{ sse } x=y \text{ ou } (x=(r,0) \text{ e } y=(l,0)) \text{ para algum }r,l \in \mathbb{R}$$ Vamos chamar de $F$ o espaço $X/\sim$ com a topologia quociente. Tal espaço é denominado Espaço do Ventilador. $\D…

topologia:exemplo:firstcontseccont

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T00:08:28+00:00

Não é primeiro contável, logo não é segundo contável Demonstração. Suponhamos que a topologia de convergência pontual seja primeiro contável, então a função nula tem uma base de vizinhanças contável. Ou seja, temos uma família enumerável de vizinhanças abertas $V_i(0,A_i,\varepsilon)$$0$$0$$V_i$$V(0,A,\varepsilon)$$0$$A\not\in \{A_i\}$$\{A_i\}$$[0,1]$$\varepsilon>0$$X$$i$$f\in C([0,1])$$f\in V_i$$f\not\in V$$V$$V_i$$C_{p}([0,1])$$C_{p}([0,1])$$~~~~~~~~\square$

topologia:exemplo:funcontcomp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-02T09:51:51+00:00

Funções contínuas de $[0,1]$ em $\mathbb{R}$ com norma do supremo Considere o espaço vetorial $C([0,1],\mathbb{R}):=\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}:f\text{ é contínua nas topologias usuais de }[0,1]\text{ e }\mathbb{R}\}$. Defina: $$|\cdot|:C([0,1],\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$$ $$f\mapsto \sup_{x\in [0,1]} |f(x)|$$ tal função faz sentido, pois pelo Teorema de Weierstrass, toda função em $C([0,1],\mathbb{R})$ admite ponto de máximo (note que o valor absoluto de $f$ também é contínua). Além…

topologia:exemplo:gaiola_infinita

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T20:53:26+00:00

Gaiola Infinita A Gaiola Infinita é dada por um $X$ tal que, este é formado pela união de três tipos de conjuntos: $A_n $$=$ {$(\frac{1}{n},y,0)\in R^3:y\geq 0$}; $B_n $$=$ {$(0,y,0)\in R^3:2n - \frac{1}{2}\leq y\leq 2n + \frac{1}{2}$}; $C_n $$=$ {$(x,y,z)\in R^3:0\leq x \leq \frac{1}{n}, y = 2n, z = x\frac{1}{(n - x)}$}.$X$$\bigcup_{n=1}^\infty (A_n\cup B_n\cup C_n)$

topologia:exemplo:hilbertbaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T20:05:25+00:00

O espaço de Hilbert possui base enumerável Seja $(e_i)_{i\in\Bbb N}$ e $(v_\alpha)_{\alpha\in X}$ bases ortonormais de $H$ com um conjunto arbitrário de índices $X$. Primeiro observemos que $\{\alpha\in X:\,\forall i\in\Bbb N\,(e_i\perp v_\alpha)\}=\emptyset$já que $e_i$ é uma base ortonormal. Então, para cada $i,n\in\Bbb N$, considere $A_{i,n}:=\{\alpha\in X: |\langle e_i,v_\alpha\rangle|\ge \frac1n\}$. Já que para todo $\alpha_1,\dots,\alpha_k\in X$, temos $$ 1=\|e_i\|^2\ \ge\ \left\|\sum…

topologia:exemplo:hilbertbaselocalenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T20:01:20+00:00

O espaço de Hilbert satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade Basta notar que o espaço de Hilbert satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

topologia:exemplo:hilbertcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T12:54:01+00:00

O espaço de Hilbert é compacto Basta notar que se um espaço é completo e totalmente limitado, ele é compacto. Também, sabemos que um espaço métrico é separável se, e somente se, for homeomorfo a um espaço métrico totalmente limitado (pré-compacto).

topologia:exemplo:hilbertconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T15:08:53+00:00

O espaço de Hilbert é conexo Lembramos que se um espaço vetorial é normado e completo esse é dito de Banach. Notamos que o espaço de Hilbert é um subconjunto mais estrito do espaço de Banach, conforme dito na própria definição. Então, para mostrar que Hilbert é conexo, podemos mostrar que Banach é conexo. $V$$\mathbb{K}$$x \in V$$A_x = \{ax | \,\, a\in \mathbb{K}\}$$A_x$$\forall$$x\in V$$f\colon \mathbb{K} \to A_x$$f(a) = ax$$\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C}$$K$$A_x$$v \in V$$v$$[0,1] \to V…

topologia:exemplo:hilbertlindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T21:13:10+00:00

O espaço de Hilbert é de Lindelöf Aqui foi dado uma subcobertura enumerável para toda cobertura aberta.

topologia:exemplo:hilbertlocalcomp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T19:45:46+00:00

$H$ não é localmente compacto. Note que as bolas fechadas $\bar{B}_{\epsilon}(x) = \{ y|\,\, d(x,y) \leq \epsilon \}$ não são compactas. Pois os pontos $y_n = \{x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n + \epsilon, x_{n+1}, \ldots \}$ estão em $\bar{B}_{\epsilon}(x)$, mas $d(y_n,y_m) = \sqrt{2\epsilon}$ sempre que $n \neq m$. Logo, $\{y_n\}$ não admite subsequência convergente. Note que aqui usamos a Proposição 4.3.12 da apostila. “Seja $(X,d)$ métrico tal que toda sequência admite subsequência convergent…

topologia:exemplo:hilbertmetriz

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T15:39:25+00:00

O espaço de Hilbert é metrizável Pela definição, o próprio espaço Hilbert $H$ é um espaço métrico com métrica $d$. Bom, de maneira geral se $(X,d)$ é um espaço métrico, isto é, se $X$ é um conjunto e $d$ é uma métrica em $X$, então $d$ induz uma topologia $\tau_d$$X$$(X,d)$$(X,\tau_d)$

topologia:exemplo:hilbertparacompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T12:42:02+00:00

O espaço de Hilbert é Paracompacto Se um espaço é $T_3$ e de Lindelöf, ele é paracompacto.

topologia:exemplo:hilbertseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T20:11:08+00:00

O espaço de Hilbert é separável Note que o conjunto de todos os pontos que têm finitas coordenadas racionais com o restante sendo 0 é um subconjunto denso enumerável. Então, como $H$ é um espaço métrico, ele possui base enumeravel (satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade) e também é Lindelöf.

topologia:exemplo:hilbertt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T04:18:04+00:00

O espaço de Hilbert é de Kolmogorov Hilbert é $T_1$ e sabemos que todo espaço $T_1$ é $T_0$.

topologia:exemplo:hilbertt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T04:16:59+00:00

O espaço de Hilbert é de Fréchet Hilbert é $T_2$ e sabemos que todo espaço $T_2$ é $T_1$.

topologia:exemplo:hilbertt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T00:31:10+00:00

O espaço de Hilbert é Hausdorff Basta mostrar que todo espaço métrico é de Hausdorff, pois o espaço de Hilbert é um espaço métrico pela definição. Então seja $(X,d)$ um espaço métrico e sejam $x, y \in X$ com $x \neq y$. Seja $r = d(x,y) > 0$. Mostraremos que $B_{r/2}(x) \cap B_{r/2}(y) = \emptyset$. Suponhamos que não. Seja $a \in B_{\frac{r}{2}}(x) \cap B_{\frac{r}{2}}(y)$$d(x,y) \leq d(x,a) + d(a,y) \leq \frac{r}{2} + \frac{r}{2} = r$$d(x,y) = r$

topologia:exemplo:hilbertt3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T12:39:11+00:00

O espaço de Hilbert é regular Basta notar que todo espaço regular ($T_4$) é normal ($T_3$). Seja $T = (S, \tau)$ um espaço normal. Pela definição, temos que é $T_1$ (Fréchet) também. Seja $F$ qualquer fechado em $T$. Seja $y \in S-F \doteq C_S(F)$. Como $T$ é Fréchet, segue que $\{y\}$ é fechado. E de $T$$$ \forall \,\, A, B \in C(\tau), A\cap B = \emptyset \, \colon \, \exists \, U, V \in \tau \, \colon \, A \subseteq U, B \subseteq V, U \cap V = \emptyset. $$$A, B \subseteq S$$U, V \in \…

topologia:exemplo:hilbertt3meios

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T12:46:55+00:00

O espaço de Hilbert é de Tychonoff Basta notar que se um espaço é $T_4$ e $T_3$, então ele é $T_{3\frac{1}{2}}$.

topologia:exemplo:hilbertt4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T04:24:00+00:00

O espaço de Hilbert é normal Daqui, temos a prova de que todo espaço métrico é $T_4$. Como Hilbert é um espaço métrico, temos o resultado.

topologia:exemplo:homopente1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-21T19:48:06+00:00

Vamos mostrar que para cada $n\in \mathbb{N}^*$ tal que $x_n:=( \frac{1}{n}, 1 ) \in A$, existe $t_n\in [0,1-\delta]$ tal que $H(x_n,t_n)\notin V$. De fato, tome $\alpha<1/n$. Sabemos que $H(x_n,\cdot)$ é contínua e $H(x_n,1)=x_0$. Então existe $t_i \in [0,1)$ tal que $H(x_n,t)\in B_{\alpha}(x_0)\cap X$ para todo $t\in [t_i,1]$. Defina $I=\{(\frac{1}{n},y): \, \frac{1}{2} < y \leq 1\} $. Note que $t_i$ é cota superior do conjunto $\{t\in [0,1] : \, H(x_n,t)\in I\}$. Então podemos definir $\til…

topologia:exemplo:lindel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T18:29:55+00:00

É Lindelöf Demonstração. Para verificar esse fato, usaremos o seguinte resultado, cuja demonstração pode ser encontrada no Teorema 2.44 da referência MAUÉS [1]. Proposição Seja $X$ um espaço metrizável então $C_{p}(X)$ é Lindelöf se, e somente se $X$$[0,1]$$C_{p}([0,1])$$~~~~~~\square$

topologia:exemplo:linhaparalela

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T01:33:01+00:00

Espaço Forte da Linha Paralela Considere os subconjuntos $A$ e $B$ de $\mathcal{R}^2$ tais que $$A:= \{(x,0):0 < x \leq 1\}$$ $$B:= \{(x,1):0\leq x <1\}$$ E $X=A\cup B$ é o espaço sobre o qual a topologia $\sigma$ se define a partir das bases $$V(a,b)=\{(x,1):a\leq x

topologia:exemplo:linhaparalelalocconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T01:40:19+00:00

Se $q\in A$, os conjuntos $C=\{p\in X ; p\leq q\}$ e $D=\{p\in X ; p>q\}$ são abertos em $\sigma$. Assim $f:X \Rightarrow R$ tal que $$f(p)=0 ; p\in C$$ e $$f(p)=1 ; p\in D$$ é contínua. Portanto, $(X,\sigma)$ não é localmente conexo.

topologia:exemplo:linhaparalelanormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T02:09:11+00:00

Como $(X,\sigma)$ não é regular, então não é normal.

topologia:exemplo:linhaparalelaregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T01:35:34+00:00

Considere um subconjunto $C$ fechado que não contém $(0,1)$. Seja $U$ uma vizinhança aberta de $(0,1)$, e $V \supset A$ um aberto. Então, existe $b>0$ tal que $\{(x,1):0\leq x

topologia:exemplo:linhaparalelaseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T01:36:36+00:00

Note que o subconjunto $$\{(x,1):x\in\mathcal{Q}, 0\leq x <1\}$$ de $X$ é denso enumerável. Portanto, $X$ é separável.

topologia:exemplo:linhaparalelat0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T02:13:03+00:00

Como $q\in A$, os conjuntos $C=\{p\in X ; p\leq q\}$ e $D=\{p\in X ; p>q\}$ são abertos em $\sigma$. Assim $f:X \Rightarrow R$ tal que $$f(p)=0 ; p\in C$$ e $$f(p)=1 ; p\in D$$ é contínua. Portanto, $(X,\sigma)$ é totalmente separável, logo $(X,\sigma)$ é $T_0$.

topologia:exemplo:linhaparalelat1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T02:14:41+00:00

topologia:exemplo:linhaparalelat2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T01:38:55+00:00

topologia:exemplo:linhaparalelazerodimensional

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T02:06:47+00:00

Como não é $T_3$, $(X,\sigma)$ não é zero dimensional.

topologia:exemplo:maxf_1f_2continua

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-08T15:19:44+00:00

Dadas $f_1,f_2: X \to [0,1]$ contínuas, $f(x,y) = \max\{f_1(x),f_2(y)\}$ é contínua Note que $f(x,y) = \max\{f_1(\pi_x(x,y)),f_2(\pi_y(x,y))\}$, onde $\pi_x(x,y) = x$ e $\pi_y(x,y) = y$ são as funções projeções, que são contínuas. Perceba que, por ser composta de contínuas, as funções $g_1(x,y) := f_1(\pi_x(x,y))$ e $g_2(x,y):=f_2(\pi_y(x,y))$ são contínuas. Além disso, note que$$f(x,y) = \max\{g_1(x,y),g_2(x,y)\} = \frac{g_1(x,y) + g_2(x,y)}{2} + \frac{|g_1(x,y) - g_2(x,y)|}{2}$$…

topologia:exemplo:metriz

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T18:30:43+00:00

Não é metrizável Demonstração. Desde que metrizabilidade implica em segundo contável e primeiro contável, $C_{p}([0,1])$ não pode ser metrizável. $~~~~~~~~\square$ De modo geral, temos a seguinte proposição cuja demonstração pode ser encontrada em MAUÉS [1], Teorema 2.35.$X$$C_{p}(X)$$X$

topologia:exemplo:michaelbaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-08T19:50:22+00:00

A reta de Michael não possui base enumerável Seja $\mathcal{B}$ uma base para a topologia $\tau_{M}$. Dado $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, temos que $\{x\} \in \tau_{M}$ e como $\mathcal{B}$ é base, então existe $B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B \subset \{x\}$. Daí $B = \{x\}$ e assim $\{\{x\} : x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\} \subset \mathcal{B}$. Logo $\mathcal{B}$ não pode ser enumerável.

topologia:exemplo:michaelbaselocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-08T06:59:13+00:00

A reta de Michael possui base local enumerável Para cada $x \in \mathbb{R}$, considere $\mathcal{B}_{x} = \{]x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}[ : n \in \mathbb{N}_{>0}\} \cup \{\{x\}\}$. Note que $\mathcal{B}_{x}$ é enumerável e cada um de seus elementos é aberto na topologia $\tau_{M}$ contendo $x$. Agora, seja $U \in \tau_{M}$ tal que $x \in U$. Por definição, existem $A \in \tau$ (topologia usual em $\mathbb{R}$) e $B \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ tais que $U = A \cup B$. Se $x …

topologia:exemplo:michaelcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-10T17:38:25+00:00

A reta de Michael não é compacta Basta notar que $\mathcal{B} = \{]-n, n[ : n \in \mathbb{N}_{>0}\}$ é cobertura aberta para $\mathbb{R}_{M}$ sem subcobertura finita.

topologia:exemplo:michaelcompregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-06T05:24:17+00:00

A reta de Michael é $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular Sejam $x \in \mathbb{R}$ e $F \subset \mathbb{R}$ fechado da topologia $\tau_{M}$, tais que $x \notin F$. Daí $U = \mathbb{R} \subset F$ é aberto e portanto existem $A \in \tau$ e $B \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ tais que $U = A \cup B$. Temos dois casos: * $x \in B$: basta tomar $f:\mathbb{R}_{M} \to [0,1]$ dada por $f(x) = 0$ e $f(y) = 1$, se $y \neq x$. * $x \notin B$: nesse caso, $x \in A$ e portanto …

topologia:exemplo:michaellindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-11T21:09:55+00:00

A reta de Michael não é espaço de Lindelöf Seja $\epsilon > 0$. Enumere os racionais da seguinte forma $\mathbb{Q} = \{q_n : n \in \mathbb{N}\}$. Para cada $n \in \mathbb{N}$, considere $B_{n} = \big]q_n - \frac{\epsilon}{2^{n+1}}, q_n + \frac{\epsilon}{2^{n+1}} \big[$. Note que cada $B_{n}$ é aberto em $\mathbb{R}_{M}$ e portanto $B = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_{n}$ é aberto em $\mathbb{R}_{M}$. Temos então que a medida $\mu(\mathbb{Q}) = 0$. De fato, note que $\mu(\mathbb{Q}) \leq \sum_{…

topologia:exemplo:michaelloccompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-11T00:24:36+00:00

A reta de Michael não é localmente compacta Sejam $a, b \in \mathbb{R}$, $a < b$. Vamos mostrar que $[a,b] \subset \mathbb{R}_{M}$ não é compacto. Seja $x \in ]a,b[ \setminus \mathbb{Q}$. E defina a sequência $x_{n} = x - \frac{1}{n}$ e note que cada $x_{n}$ é irracional. Assim existe $n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que, para todo $n \geq n_{0}$, $x_{n} \in [a, x[$. Defina $\mathcal{B} = \{[a,x_{n_{0}}[, ]x,b], \{x\}\} \cup \{]x_{n},x_{n+1}[ : n \geq n_{0}\} \cup \{\{x_{n}\} : n\geq n_{0}\}$. Pri…

topologia:exemplo:michaelnormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-06T09:06:42+00:00

A reta de Michael satisfaz $T_{4}$ e é normal Sejam $F, G \subset \mathbb{R}$ fechados na topologia $\tau_{M}$ tais que $F \cap G = \emptyset$. Considere os conjuntos $F_{0} = F \cap \mathbb{Q}$ e $G_{0} = G \cap \mathbb{Q}$. Note que a topologia induzida em $\mathbb{Q}$ por $\mathbb{R}_{M}$ é a mesma induzida pela topologia usual em $\mathbb{R}$. Assim, como $\mathbb{Q}$ é espaço métrico como subespaço de $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$$F_{0}$$G_{0}$$\mathbb{Q}$$U_{0}, V_{0} \subset \mathbb{Q}$$U_…

topologia:exemplo:michaelregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-05T08:41:54+00:00

A reta de Michael satisfaz $T_{3}$ e é regular Sejam $x \in \mathbb{R}$ e $F \subset \mathbb{R}$ fechado na topologia $\tau_{M}$ tais que $x \notin F$. Assim $\mathbb{R} \setminus F$ é aberto em $\mathbb{R}_{M}$ e portanto $\mathbb{R} \setminus F = A \cup B$, onde $A$ é aberto da topologia usual de $\mathbb{R}$ e $B \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Note que assim temos que $x \in A \cup B$. Se $x \in B$, então $\{x\}$ e $\mathbb{R} \setminus \{x\}$ são abertos em $\mathbb{R}_{M}$ (o…

topologia:exemplo:michaelseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-08T07:20:37+00:00

A reta de Michael não é separável Seja $D \subset \mathbb{R}_{M}$ denso (na topologia $\tau_{M}$) e $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Como $\{x\} \in \tau_{M}$, então $\{x\} \cap D \neq \emptyset$ e, portanto, $x \in D$. Daí temos que $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \subset D$ e assim $D$ não pode ser enumerável.

topologia:exemplo:michaelt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-05T05:18:03+00:00

A reta de Michael satisfaz $T_{0}$ Sejam $x, y \in \mathbb{R}$ distintos e $\epsilon = |x - y|$ (aqui $|.|$ é a norma usual em $\mathbb{R}$). Note que $A = ]x-\frac{\epsilon}{2}, x-\frac{\epsilon}{2}[ \in \tau_{M}$, $x \in A$ e $y \notin A$. Observe que na verdade mostramos que a reta de Michael também satisfaz $T_{1}$.

topologia:exemplo:michaelt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-05T05:20:02+00:00

A reta de Michael satisfaz $T_{1}$ Veja a demonstração de que a reta de Michael satisfaz $T_{0}$.

topologia:exemplo:michaelt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-05T05:59:36+00:00

A reta de Michael satisfaz $T_{2}$ Sejam $x, y \in \mathbb{R}$ distintos e $\epsilon = |x - y|$. Considere $A = ]x - \frac{\epsilon}{2}, x + \frac{\epsilon}{2}[$ e $B = ]y - \frac{\epsilon}{2}, y + \frac{\epsilon}{2}[$. Note que $A,B \in \tau_{M}$ $A \cap B = \emptyset$, $x \in A$ e $y \in B$.

topologia:exemplo:nao_e_compacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T10:57:37+00:00

topologia:exemplo:nao_e_localmente_compacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T11:32:14+00:00

Não é localmente compacto Demonstração. De fato, tomando o fecho de uma vizinhança básica de $0$, note que $\overline{V(0,A,\varepsilon)}$ não é compacto. Suponha sem perda de generalidade que $1\not\in A$, podemos tomar uma sequência de funções $(f_n)\in \overline{V}$ tal que $$f_n(1)=n.$$ Seja $0<\varepsilon_0<\frac12$, tomemos uma cobertura $\{V_n(f_n,A\cup\{1\}, \varepsilon_0)\}$$\{f_n\}$$\{V_n(f_n,A\cup\{1\}, \varepsilon_0)\}$$\{f_n\}\subset \overline{V(0,A,\varepsilon)}$$\overline{V(0,A,…

topologia:exemplo:ncomp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T18:25:50+00:00

Não é compacto Demonstração. De fato, desde que $\mathbb{R}$ não é compacto então $\mathbb{R}^{[0,1]}$ não é compacto, como $\overline{C_{p}([0,1])}=\mathbb{R}^{[0,1]}$, então $C_{p}([0,1])$ não pode ser compacto. $~~~~~~~~\square$ De modo geral, temos a seguinte proposição: Proposição Seja $X$ espaço de Tychonoff, então $C_{p}(X)$ é compacto se e somente se $X=\emptyset.$$\Longrightarrow$$X\not= \emptyset$$[0,1],$$\mathbb{R}^X$$\Longleftarrow$$X=\emptyset,$$C_p(X)=\emptyset$$~~~~~~~~~~\squa…

topologia:exemplo:nconxd

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T12:18:55+00:00

$X$ não é conexo De fato, considere os conjuntos $A=\{(0,2)\}$ e $X\setminus A$. Note que esses conjuntos são disjuntos e $X=A\cup (X\setminus A)$. Além disso, $A$ é aberto pela definição da topologia $\tau$, e $X\setminus A= \left ( \underset{x\in \mathbb{R}}{\bigcup} A_x\setminus A \right ) \cup \{p\} \cup U_1$ é união de abertos, logo aberto.

topologia:exemplo:neccccc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T16:34:52+00:00

$X$ não é ccc (LINKAR alguma página sobre ccc) Basta tomar $\{\{(x,y)\}\in \mathbb{R}^2 : \, 0

topologia:exemplo:niemytskibaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T16:00:08+00:00

O plano de Niemytski é Espaço de Baire. Antes de apresentar esta demonstração, precisamos de dois resultados. (1) Dado $A \subset P$ aberto denso, então existe $B \subset A$ aberto denso em $\mathbb{R}^2$ Podemos escrever $A= \cup_{i \in I} B_{\varepsilon}(x_i,y_i)$, para todo $\varepsilon>0$ e $B_{\varepsilon}(x_i,y_i)$ com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$. Como em $\mathbb{R}^2$ os conjuntos $B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x_i,y_i), i \in I$$B=\cup B_{\frac{\varepsilon}{2}} (x_i,y_i)$$\m…

topologia:exemplo:niemytskibaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T16:56:48+00:00

O plano de Niemytski não admite base enumerável. Vamos supor que $P$ admite base enumerável $\mathcal{B}$, então todo subespaço $A$ de $P$ deve ter uma base enumerável. Tomando $A=\{(x,0): x \in \mathbb{R}\}$ chegamos a uma contradição, pois $A$ é discreto. Considerando $\pi=\{A \cap X:X \in \tau\}$ ($X=B_y(x,y)$), se existe uma base $\mathcal{B}$ tal que $V \in \pi$ e para todo $x \in V$$B \in \mathcal{B}$$x \in B \subset V$$\mathcal{B}$$\pi$

topologia:exemplo:niemytskibaselocalenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T16:52:53+00:00

O plano de Niemytski tem base local enumerável. Seja $(x,y) \in P$ ($y \geq 0$). Vamos dividir em dois casos: Caso 1: $y >0$. Defina $\mathcal{V} \doteq \left\{B_{\frac{1}{n}}\left(x,y\right); \text{ com } n \in \mathbb{N} \text{ e } \frac{1}{n} < y \right\}$ onde $B_{\frac{1}{n}}(x,y)$ é a bola com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$. Para todo $V=B_{\frac{1}{n}} (x,y) \in \mathcal{V}$, $V$ é vizinhança aberta enumerável de $(x,y)$ pela definição da topologia do plano de Niemytski. …

topologia:exemplo:niemytskicompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T13:20:39+00:00

O plano de Niemytski não é compacto. Vamos supor que $P$ seja compacto. Sabemos que o plano de Niemytski é Hausdorff. Daí, todo espaço compacto de Hausdorff é normal. Absurdo, pois $P$ não é normal. Portanto, o plano de Niemytski não é compacto. Ver também: *

topologia:exemplo:niemytskicompmetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T15:50:00+00:00

O Plano de Niemytski não é completamente metrizável, pois não é metrizável..

topologia:exemplo:niemytskicompregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T16:22:43+00:00

O plano de Niemytski é completamente regular ou espaço de Tychonoff. Esse plano é $T_{1}$ e resta provar que é $T_{3{\frac{1}{2}}}$. Sejam $(x,y) \in P$ e $F \subset P$ fechado com $(x,y) \notin F$. Daí, $P$\ $F$ é aberto. Caso 1: $y >0$. Observe que $\varepsilon:= \frac{d(F,(x,y))}{2}$ é tal que $B_{\varepsilon} (x,y)$ é uma vizinhança aberta em $(x,y)$$\mathbb{R}^2$$B_{\varepsilon} (x,y) \subset P$$F$$B_{\varepsilon} (x,y) \cap F = \emptyset$$f:P \longrightarrow [0,1]$\begin{equation}…

topologia:exemplo:niemytskiconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T02:37:02+00:00

O Plano de Niemytski é conexo. O Plano de Niemytski tem dois subconjuntos $P_1=\{(x,y):x,y \in \mathbb{R}, y > 0\}$ e $P_2=\{(x,y):x,y \in \mathbb{R}, y = 0\}$. Temos que $P_1$ é conexo como subespaço de $\mathbb{R}^2$ e como a topologia induzida. sobre $P_1$ por $P$ e $\mathbb{R}^2$ é a mesma, $P_1$ é conexo como subespaço de $P$. Defina $\varepsilon >0$. Tome $B=\{B_{\varepsilon}(x,\varepsilon) \cup \{(x,0)\}\}$ aberto básico em volta de $(x,0)$. Então $B \cap P_1 \neq \emptyset$. Temos …

topologia:exemplo:niemytskiconexocaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T02:37:59+00:00

Vamos mostrar que o Plano de Niemytski é conexo por caminhos analisando três casos. (1) $P_1=\{(x,y): x,y \in \mathbb{R}^2, y>0\} \subset P$ é conexo por caminho, pois $\mathbb{R}^2$ é conexo por caminhos e a topologia induzida. sobre $P_1$ por $P$ e $\mathbb{R}^2$ é a mesma. Daí, por quaisquer dois pontos distintos pertencentes a $P_1$ teremos um caminho. (2) Sejam $(x,0)$$(u,v) \in P$$u>0$$B=B_{\varepsilon}(x,\varepsilon) \cup \{(x,0)\}$$\varepsilon >0$$P$$(x,0)$$(x,1) \in P$$f:[0,1] \lo…

topologia:exemplo:niemytskicontratil

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T17:22:00+00:00

O plano de Niemytski é contrátil. A demonstração será feita de dois modos: (1) Considerando $\mathbb{R}^2$ nos casos em que $P_1 = \{(x,y):x,i \in \mathbb{R}, y>0\} \subset P$ onde pela topologia induzida sobre este por $P$ e $\mathbb{R}^2$ é a mesma e daí, $P_1$ é contrátil. No outro caso onde temos $P_2= \{(x,y):x,i \in \mathbb{R}, y=0\} \subset P$ é contrátil. Dessa forma, temos que $P$ é contrátil.

topologia:exemplo:niemytskilindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T13:50:59+00:00

O plano de Niemytski não é Lindelöf. Definição Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço de Lindelöf se, para toda cobertura aberta $\mathcal{A}$ de $X$, existe $\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}$ subcobertura enumerável. Proposição Todo espaço com base enumerável é de Lindelöf. Demonstração Concluímos que como o Plano de Niemytski

topologia:exemplo:niemytskiloccompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T17:35:05+00:00

O plano de Niemytski não é localmente compacto. Vamos supor que $P$ seja localmente compacto . Dessa forma, $P$ admite um sistema fundamental de vizinhanças compacto. Considere $\mathcal{V}_x$ um sistema fundamental de vizinhanças compactas de $(x,0) \in P$ e tome uma vizinhança $V \in \mathcal{V}_x$. Defina $\varepsilon >0$ e seja $B_{\varepsilon} (x,\varepsilon)$$\mathbb{R}^2$$(x,0)$$A=B_{\varepsilon} (x,\varepsilon)\cup (x,0)$$(x,0) \in A \subset V$$V$$\overline{A} =\overline{B_{\varep…

topologia:exemplo:niemytskilocconexcaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T14:29:38+00:00

O Plano de Niemytski é localmente conexo por caminhos. $\mathcal{V}$ é base local. para $(x,y)$. A bola aberta da forma $B_{\varepsilon}((x,y))$, $\varepsilon > 0$, com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$ é conexa por caminhos. Assim, todo ponto de $P$ admite uma base local conexa por caminhos, e portanto, $P$ é localmente conexo por caminhos.

topologia:exemplo:niemytskilocconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T14:06:09+00:00

O Plano de Niemytski é localmente conexo. $\mathcal{V}$ é base local para $(x,y) \in P$. A bola aberta da forma $B_{\varepsilon}(x,y) \subset P$, $\varepsilon > 0$, com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$ é conexa. Assim, todo ponto admite base local conexa e, portanto, $P$ é localmente conexo.

topologia:exemplo:niemytskimetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T15:20:21+00:00

O plano de Niemytski não é metrizável. Suponha que esse plano seja metrizável e que $(P,d)$ seja um espaço métrico. Mostramos que $P$ é separável. Logo, esse espaço tem base enumerável por Espaço métrico separável. Absurdo, pois o plano de Niemytski não admite base enumerável..

topologia:exemplo:niemytskinormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T16:49:05+00:00

O plano de Niemytski não é normal. O plano de Niemytski é $T_{1}$. Então para não ser normal precisamos apenas mostrar que $P$ não é $T_4$. Vamos supor que $P$ seja espaço normal. Seja $A=\{(x,0):x \in \mathbb{R}\}$. $A$ é fechado em $P$ e é discreto. Assim, qualquer subconjunto $F \subset A$ é fechado em $A$ e também fechado em $P$$F$$A$$F$$P$$T_4$$F \subset A$$B(F)$$C(F)$$B(F) \cap C(F)= \emptyset$$F \subset B(F)$$A$$F \subset C(F)$$F \neq G$$B(F) \neq B(G)$$F, G \subset A$$F \neq G$$…

topologia:exemplo:niemytskinormaldem2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T16:43:33+00:00

O plano de Niemytski não é normal. O plano de Niemytski é $T_{1}$.. Então para não ser normal precisamos apenas mostrar que $P$ não é $T_4$. Vamos supor que $P$ seja normal. Seja $A=\{(x,0):x \in \mathbb{R}\}$. $A$ é fechado em $P$ e é discreto. Assim, qualquer subconjunto $F \subset A$ é fechado em $A$ e também fechado em $P$$F$$A$$F$$P$$F \subset A$$f_{F}:P \rightarrow [0,1]$$f_F(x)= 1$$x \in F$$f_F(x)= 0$$A$$A$$\tilde {f}_{F}: P \rightarrow [0,1]$$F \neq G$$f_F \neq f_G$$a \in F$$a …

topologia:exemplo:niemytskiparacompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T13:45:19+00:00

O plano de Niemytski não é paracompacto. Se um espaço topológico admite base enumerável e é regular, então ele é paracompacto. Mas o Plano de Niemytski não admite base enumerável., logo não é paracompacto.

topologia:exemplo:niemytskiregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T18:20:45+00:00

O plano de Niemytski é regular. Esse plano é $T_{1}$, então nos resta mostrar que ele é $T_3$. Note que o eixo $x$ é fechado em $P$ e seu complemento é a união de todas as $\varepsilon$-bolas em $\{(x,y):y>0\}$. Sabemos que a topologia induzida no eixo $x$ é a topologia discreta tal que todos os subconjuntos do eixo $x$$x$$P$$F \subset P$$P$$F$$(x,y) \in P$$F$$y>0$$\varepsilon >0$$B_{\varepsilon} (x,y)$$(x,y)$$(x,y)$$x$$U=B_{\frac{\varepsilon}{2}} (x,y)$$\frac{\varepsilon}{2}$$(x,y)$$U \s…

topologia:exemplo:niemytskiseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T18:21:16+00:00

O plano de Niemytski é separável. Seja $(P,\tau)$ o plano de Niemytski, onde $\tau$ é a topologia definida anteriormente. Vamos mostrar que tal espaço é separável. Considere $D=\{(x,y), x,y \in \mathbb{Q}:y \geq 0\}$, $D \subset P$. $D$ é denso ($\mathbb{\overline {Q}}^2=\mathbb{R}^2$) e enumerável. Então $P$ é separável.

topologia:exemplo:niemytskisubespacodiscreto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T17:00:29+00:00

Possui um subespaço discreto fechado de cardinalidade contínuo. Vamos mostrar que $A=\{(x,0):x \in \mathbb{R}\}$ não enumerável é discreto. Ser espaço discreto é dizer que com a topologia do subespaço tem a topologia discreta. Sejam $A=\{(x,0):x \in \mathbb{R}\}$ e $X=B_y(x,y)$. Considere a topologia do subespaço $\pi=\{A \cap X:X \in \tau\}$. Temos dois casos: $X=B_y(x,y),y \neq 0$$A \cap X = \emptyset$$X=B_y(x,y) \cup \{(x,0)\}$$A \cap X=\{x\}$$\pi$

topologia:exemplo:niemytskit0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T10:37:09+00:00

Para provar que o plano de Niemytski é $T_0$ precisamos analisar os dois casos a seguir. Em todos eles considere a topologia do espaço de Niemytski. Caso 1 Sejam $(x,y)$, $(u,v) \in P$, $(x,y) \neq (u,v)$ onde $y>0$ e $v \geq 0$. Defina $\varepsilon :=||(x,y)-(u,v)||$, norma provinda da distância euclidiana. Defina também uma vizinhança aberta básica em $(x,y)$$\mathbb{R}^2$$B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$$x$$(u,v) \in B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$$||(x,y)-(u,v)||<\frac {\varepsilo…

topologia:exemplo:niemytskit1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T10:37:44+00:00

Para provar que o plano de Niemytski é $T_1$ precisamos analisar os dois casos a seguir. Em todos eles considere a topologia do espaço de Niemytski. Caso 1 Sejam $(x,y)$, $(u,v) \in P$, $(x,y) \neq (u,v)$ onde $y>0$ e $v \geq 0$. Defina $\varepsilon :=||(x,y)-(u,v)||$, norma provinda da distância euclidiana. Defina também uma vizinhança aberta básica em $(x,y)$$\mathbb{R}^2$$B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$$x$$(u,v) \in B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$$||(x,y)-(u,v)||<\frac {\varepsilo…

topologia:exemplo:niemytskit2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T13:22:51+00:00

Para provar que o plano de Niemytski é Hausdorff precisamos analisar os três casos a seguir. Em todos eles considere a topologia do espaço de Niemytski. Caso 1 Sejam $(x,y)$, $(u,v) \in P$, $(x,y) \neq (u,v)$ onde $y>0$ e $v>0$. Defina $\varepsilon :=||(x,y)-(u,v)||$, norma provinda da distância euclidiana. Defina também uma vizinhança aberta básica em $(x,y)$$\mathbb{R}^2$$B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$$x$$(u,v)$$\mathbb{R}^2$$B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v)$$x$$(a,b)$$(a,b) \in B_…

topologia:exemplo:niemytskitopinduzida

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T02:33:53+00:00

Queremos provar que a topologia induzida sobre $P_1=\{(x,y):x,y \in \mathbb{R},y>0\} \subset P$ por $P$ e $\mathbb{R}^2$ é a mesma. Se $B_{\varepsilon} (x,y)$ com $0 < \varepsilon

topologia:exemplo:niemytskizerodimensional

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T15:23:13+00:00

O plano de Niemytski é zero dimensional. O plano de Niemytski é regular enumerável e portanto, é zero dimensional.

topologia:exemplo:nloccomp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T18:27:38+00:00

Não é localmente compacto Proposição Seja $X$ um espaço de Tychonoff. Então $C_{p}(X)$ é localmente compacto se, e somente se $X$ é finito. Demonstração. $(\Longleftarrow)$ Suponha $X$ finito, então cada $f: X\rightarrow \mathbb{R}$ é contínua. Logo $C_{p}(X)=\mathbb{R}^{n}$, onde $n$ é o número de elementos de $X$. $(\Longrightarrow)$ Suponha $C_p(X)$$U$$0.$$V(0, A, \varepsilon)$$0$$0\in V\subseteq U.$$y\in X\backslash A.$$$\phi_{y}: C_{p}(X)\rightarrow \mathbb{R}$$$$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~…

topologia:exemplo:nloccon

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T14:22:04+00:00

$X$ não é localmente conexo por caminhos Se $X$ é localmente conexo por caminhos, cada ponto de $X$ tem uma base local composta apenas por abertos conexos por caminhos, logo conexos. Isso implica que $X$ é localmente conexo. Mas já provamos que $X$ não é localmente conexo.

topologia:exemplo:nlocsad

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T14:09:09+00:00

$X$ não é localmente conexo Suponha que $X$ seja localmente conexo. Então $p$ possui uma base local composta apenas por abertos conexos. Essa base contém um aberto $A$ tal que $p\in A$. Pelo que mostramos em Bases para $(X,\tau)$, sabemos que $\{p\}\cup U_n \subset A$ para algum $n\in \mathbb{N}$. Então existe um ponto $(x,y)$ tal que $0

topologia:exemplo:nobaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T18:34:33+00:00

Não é um espaço de Baire Demonstração. Por um resultado de MCCOY[2], Corolário 3.3, $C_{p}([0,1])$ não é um espaço de Baire, desde que temos subconjuntos limitados infinitos em $[0,1].$ $~~~~~~~\square$

topologia:exemplo:nseparr

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T16:10:55+00:00

$X$ não é separável Seja $D$ um conjunto denso em $X$. Seja $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ com $y\in (0,2]$ e $\{(x,y)\}$ o conjunto aberto correspondente. Note que a interseção entre $\{(x,y)\}$ e $D$ é não vazia, logo $(x,y)\in D$. Isso implica que $D$ tem uma quantidade não-enumerável de elementos. Logo $X$ não é separável.

topologia:exemplo:ntembase

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T16:00:14+00:00

$X$ não tem base enumerável Suponha que $\mathcal{B}$ seja uma base para a topologia de $X$. Então para cada ponto $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ com $y\in (0,2]$, temos que $\{(x,y)\}$ é aberto, logo $\{(x,y)\} \in \mathcal{B}$. Isso implica que $\mathcal{B}$ tem um número não-enumerável de elementos.

topologia:exemplo:nxn

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-02T16:21:09+00:00

Produto Cartesiano $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ Seja $(\mathbb{N}, \tau)$ espaço topológico --- com $\tau$ topologia discreta. Para o produto $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$, adotaremos a topologia produto gerada por $A \times B$, com $A, B \in \tau$. Vale notar que todo ponto (ou conjunto de pontos) será aberto e, também, fechado.

topologia:exemplo:nxnbaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-02T15:37:40+00:00

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ possui base enumerável Cada elemento de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é um aberto. Se o espaço for enumerável, podemos tomar a família que contenha todos os seus elementos --- essa família será uma base enumerável. Basta que definamos $f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f(m, n) = 2^n \cdot 3^m$

topologia:exemplo:nxncompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-23T20:21:45+00:00

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ não é compacto Basta que tomemos a cobertura $\mathcal{C} = \{ (x, y) : x, y \in \mathbb{N} \}$. Desse modo, não existe subcobertura finita.

topologia:exemplo:nxnlindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-02T16:20:57+00:00

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é de Lindelöf Todo espaço que possui base enumerável é de Lindelöf.

topologia:exemplo:nxnlocalcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-23T20:50:33+00:00

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é localmente compacto Para uma dupla de naturais qualquer, podemos tomar como sistema fundamental de vizinhanças $\mathcal{V}_x = \{ V_x \in \wp (\mathbb{N} \times \mathbb{N}) : x \in V_x \}$. Tomadas apenas as vizinhanças $V_x$ finitas, podemos definir um novo sistema fundamental $\mathcal{V'}_x$ de vizinhanças compactas.

topologia:exemplo:nxnnormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-28T20:52:37+00:00

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ satisfaz $T_4$ Basta notarmos que quaisquer dois fechado $F, G$ disjuntos no espaço são também abertos disjuntos. Além disso, $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é $T_1$. Então, o chamamos espaço normal.

topologia:exemplo:nxnregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-28T20:48:48+00:00

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ satisfaz $T_3$ Seja $x$ um ponto e $F$ um fechado tal que $x \notin F$ --- lembrando que $F$ é, também, aberto. Sempre podemos tomar o aberto $\{x\}$ tal que $\{x\} \cap F = \emptyset$. Desse modo, $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é $T_3$. Sendo também um espaço $T_1$, podemos dizer que se trata de um espaço regular.

topologia:exemplo:nxnseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-02T16:14:06+00:00

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é separável Basta tomarmos o caso trivial: o conjunto todo é subconjunto de si, denso nele mesmo e enumerável.

topologia:exemplo:nxnt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-28T13:12:16+00:00

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ satisfaz $T_0$ O espaço deve satisfazer $T_0$ pois satisfaz $T_1$.

topologia:exemplo:nxnt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-28T13:11:54+00:00

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ satisfaz $T_1$ Basta percebermos que, para todo ponto $x \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, o aberto unitário $\{x\}$ é fechado.

topologia:exemplo:nxnt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-28T13:29:17+00:00

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ satisfaz $T_2$ Tomemos dois pontos $x, y \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ distintos. Podemos pegar os abertos $\{x\}$ e $\{y\}$, que contêm $x$ e $y$, repsectivamente. Além disso, vale $\{x\} \cap \{y\} = \emptyset$.

topologia:exemplo:nxnzerodimensional

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-26T12:42:16+00:00

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é zero-dimensional Com a topologia discreta, todo aberto é um aberto fechado. Portanto, $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é zero-dimensional.

topologia:exemplo:n_n

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T23:45:25+00:00

Sequências de números naturais, $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ Seja $(\mathbb{N}, \tau)$ espaço topológico --- com $\tau$ topologia discreta. Para $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, adotaremos a topologia produto gerada por $A_0 \times A_1 \times \ldots$ para todo $i \in \mathbb{N}$, com cada $A_i \in \tau$. Os elementos do espaço são todas as sequências de naturais.

topologia:exemplo:n_nbaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T17:55:48+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ possui base enumerável Basta lembrarmos que axiomas de enumerabilidade são preservados por produto, e $\mathbb{N}$ satisfaz o segundo axioma.

topologia:exemplo:n_nbaselocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T17:55:07+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ possui bases locais enumeráveis Basta lembrarmos que axiomas de enumerabilidade são preservados por produto, e $\mathbb{N}$ satisfaz o segundo axioma --- implicando os outros dois.

topologia:exemplo:n_ncompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T18:31:52+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ não é compacto Pelo Teorema de Tychonoff, o resultado segue da não-compacidade de $\mathbb{N}$.

topologia:exemplo:n_ncompregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T16:22:15+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ satisfaz $T_{3 \frac{1}{2}}$ e é completamente regular Segue de que $\mathbb{N}$ é completamente regular.

topologia:exemplo:n_nconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T14:49:41+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ não é conexo Sabemos que $\mathbb{N}$ não é conexo com a topologia discreta. Assim, podemos encontrar um aberto fechado diferente do espaço todo. Seja $A$ esse aberto. Para $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, tomemos $A$ numa das coordenadas (do produto) e todo o $\mathbb{N}$ nas outras. Obtivemos um novo aberto fechado diferente do espaço todo. Portanto, $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$

topologia:exemplo:n_nconexocaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T18:47:11+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ não é conexo por caminhos Segue da não-conexidade de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$.

topologia:exemplo:n_nhomeor

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T22:28:28+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ é homeomorfo aos irracionais Por facilitação de notação, chamemos os irracionais de $\mathbb{I}$. Pela enumerabilidade dos racionais, podemos escrever $\mathbb{Q} = \{r_n : n \geq 1\}$. Além disso, definamos o conjunto de todas as sequências finitas (não vazias) de dado conjunto por $$ \text{Seq}(A) = \bigcup_{n \geq 1} A^n. $$$[I_s : s \in \text{Seq}(\mathbb{N})]$$s \in \text{Seq}(\mathbb{N})$$I_s$$\frac{1}{|s|}$$n \geq 1$$s, t \in \mathbb{N}^n$$s \neq t$$I_s \cap I…

topologia:exemplo:n_nlindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T18:17:39+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ é de Lindelöf Segue de possuir base local enumerável.

topologia:exemplo:n_nlocalcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T23:44:57+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ não é localmente compacto Depois de definido o homeomorfismo entre $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ e os irracionais, basta percebermos que os pontos de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ não apresentam sistema de fundamental de vizinhanças compactas.

topologia:exemplo:n_nlocconexcaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T23:36:55+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ não é localmente conexo por caminhos Segue da não conexidade e não conexidade por caminhos de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$.

topologia:exemplo:n_nlocconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T23:31:11+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ não é localmente conexo Usando o homeomorfismo com os irracionais, basta mostrarmos que $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ não é localmente conexo. Para qualquer aberto $A$ em $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, podemos encontrar um racional $r$ tal que $r$ é menor que alguns elementos de $A$ e maior que os outros. Esse racional $]-\infty, r[ \cap A$$]r, +\infty[ \cap A$$A$

topologia:exemplo:n_nmetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T09:40:05+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ é metrizável Todo espaço regular com base enumerável é metrizável.

topologia:exemplo:n_nnormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T18:36:01+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ satisfaz $T_4$ e é normal Todo espaço regular e de Lindelöf é normal --- portanto, satisfaz $T_4$.

topologia:exemplo:n_nparacompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T18:37:00+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ é paracompacto Segue de ser regular e possuir base enumerável.

topologia:exemplo:n_nregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T17:46:55+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ satisfaz $T_3$ e é regular Basta lembrarmos que a propriedade de satisfazer $T_3$ é preservada por produto, e $\mathbb{N}$ satisfaz $T_3$ com a topologia discreta. Uma vez que o espaço também é $T_1$, podemos dizer que é regular.

topologia:exemplo:n_nseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T17:54:16+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ é separável Basta lembrarmos que axiomas de enumerabilidade são preservados por produto, e $\mathbb{N}$ satisfaz o segundo axioma --- implicando os outros dois.

topologia:exemplo:n_nt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-09T15:26:30+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ satisfaz $T_0$ O espaço deve satisfazer $T_0$ pois satisfaz $T_1$.

topologia:exemplo:n_nt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-09T15:24:57+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ satisfaz $T_1$ O espaço é $T_1$ porque é de Hausdorff.

topologia:exemplo:n_nt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-09T15:25:26+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ satisfaz $T_2$ Sejam $x, y$ sequências naturais distintas entre si. Sabemos que elas possuem (pelo menos) um elemento distinto. Tomemos o primeiro elemento distinto, que está na posição $n$ das sequências: chamemo-los $x_n$ e $y_n$. Agora, podemos tomar o aberto formado por todas as sequências com $x_n$$n$$y_n$$n$

topologia:exemplo:n_nzerodimensional

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T00:04:46+00:00

$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ é zero-dimensional Usaremos o homeomorfismo de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ com os irracionais. Seja $]a, b[ \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ um intervalo com $a, b \in \mathbb{Q}$. Ele é aberto por ser um aberto de $\mathbb{R}$ interseccionado com os irracionais, e é fechado pois seu complementar é $]-\infty, a[\cup]b, +\infty[$, que é aberto. Desse modo, podemos construir uma base com fechados abertos usando intervalos de extremos racionais.

topologia:exemplo:n_n_encaixantes

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T12:04:11+00:00

Teorema dos Intervalos Encaixantes Seja $(I_n : n \in N)$ uma sequência de intervalos compactos em $\mathbb{R}$ tal que, para todo $n$, $I_{n+1} \subseteq I_n$. Então $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n \neq \emptyset$. Além disso, se o comprimento desses intervalos tende à $0$, temos que a interseção possui exatamente um número real.

topologia:exemplo:oprimeiroordinalnaoenumeravel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T22:40:38+00:00

$\omega_1$ Princípio da ótima ordem Todo conjunto $X$ admite uma boa ordem $\preceq$ tal que, para todo $x\in X$, $$|\{y\in X: y\prec x\}|<|X|$$ Chamamos uma tal ordem de ótima ordem sobre $X$. * Chamamos de $\aleph_1$ o menor tamanho possível para um conjunto não enumerável. * Chamamos de $\omega_1$ um conjunto de tamanho $\aleph_1$$\preceq$$x\in \omega_1$$|\{y\in\omega_1: y\prec x\}|<|\omega_1| = \aleph_1$$\{y\in\omega_1: y\prec x\}$$\omega_1$$x\in\omega_1$$\forall y\in\omega_1, y\pre…

topologia:exemplo:paracomp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-02T09:41:59+00:00

É paracompacto Demonstração. Desde que $C_{p}([0,1])$ é Lindelöf e regular, por MICHAEL [3] temos que é paracompacto. $~~~~~~\square$

topologia:exemplo:pentecomzero

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:40:16+00:00

Espaço do pente com a origem O espaço pente com a origem consiste no conjunto $P = A \cup B \subset \mathbb{R}^2$ munido com a topologia de subespaço, onde $A = \{ (\frac{1}{n}, y) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ y \geq 0, n \in \mathbb{N} \} \cup \{(x,0) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ x \geq 0 \}$ e $B = \{(0,y) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ y \geq 0 \}$, podemos visualizar o espaço pente da seguinte maneira: Axiomas de Separação * Satisfaz $T_{0}$. * Satisfaz $T_{1}$. * Satisfaz $T_{2}$. * Satisfa…

topologia:exemplo:pentecomzerobaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T10:10:18+00:00

Possui Base Enumerável Como $\mathbb{R}$ possui base enumerável temos que $(\mathbb{R}^2,\sigma)$ também possui base enumerável, tomemos então $\{V_n: n \in \mathbb{N}, V_n \in \sigma\}$ base para $\mathbb{R}^2$, como estamos trabalhando com a topologia de subespaço, temos que $\{V_n \cap P: n \in \mathbb{N}\}$ é uma base para $P$, logo o espaço pente com zero admite base enumerável.

topologia:exemplo:pentecomzerobaselocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T09:51:32+00:00

Possui Base Local Enumerável Seja $p \in P \Rightarrow p \in \mathbb{R}^2$, como $\mathbb{R}^2$ possui base local enumerável, existe $\{B_{\frac{1}{n}}(p): n \in \mathbb{N}_{>0}\}$ base local para $p$, como estamos trabalhando com a topologia de subespaço, temos que o conjunto $\{B_{\frac{1}{n}}(p) \cap P: n \in \mathbb{N}_{>0}\}$ é uma base local para $p$ em $(P, \tau)$, logo o o espaço pente admite base local enumerável.

topologia:exemplo:pentecomzerocompacidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T10:36:42+00:00

Não é compacto Suponha por absurdo que $P$ seja compacto, logo existe $r>0 \in \mathbb{R}$ e $(x_1,y_1) \in \mathbb{R}^2$ tal que $P \subset B((x_1,y_1))$, tome $x,y \in \mathbb{R}$ tal que $\sqrt{x^2 + y^2} \geq r$, note que $p_1 = (x,0),p_2 = (0,y) \in P$ e ainda $d(p_1,p_2) \geq r$ o que é um absurdo, logo $P$ não é compacto.

topologia:exemplo:pentecomzeroconexidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T10:57:18+00:00

É Conexo Como $(P, \tau)$ é conexo por caminhos, ele é conexo.

topologia:exemplo:pentecomzeroconexidadecaminho

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T17:30:35+00:00

É conexo por caminhos Sejam $p_1,p_2 \in P = A \cup B $, dividiremos em casos para mostrar que sempre há um caminho entre os pontos, a ideia é usar as retas nas quais os pontos pertence e também a reta $\{(x,0): x \in \mathbb{R} \}$ como auxiliar, o fato de $(0,0) \in P$ será crucial nas construções: $p_1 \in A$ e $p_2 \in B$ (vice-versa) $p_1 \in \{(x,0): x\in \mathbb{R}\} \subset A$$p_2 \in B$$p_1 = (x_1,0)$$p_2 = (0,y_2)$$x_1,y_2 \in \mathbb{R}$$f:[0,1] \to P$\begin{equation} f(t) = \lef…

topologia:exemplo:pentecomzeroseparabilidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T10:17:40+00:00

É Separável Como $P$ possui base enumerável então $P$ é separável, basta tomar $D = \{p_n: p_n \in B_n, n \in \mathbb{N} \}$, onde $B_n$ são os elementos da base de $P$.

topologia:exemplo:pentecomzerot0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T17:20:24+00:00

Satisfaz $T_{0}$ Como o espaço é Hausdorff, ie, satisfaz $T_{2}$, então satisfaz $T_{0}$

topologia:exemplo:pentecomzerot1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T17:21:21+00:00

Satisfaz $T_{1}$ Como o espaço é Hausdorff, ie, satisfaz $T_{2}$, então satisfaz $T_{1}$

topologia:exemplo:pentecomzerot2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T17:33:37+00:00

Satisfaz $T_{2}$ Seja $p_1,p_2 \in P $, e tome $\epsilon = \frac{d(p_1,p_2)}{2}$, note que $B_{\epsilon}(p_1) \cap B_{\epsilon}(p_2) = \emptyset $, logo as bolas são abertos disjuntos de $R^2$ com a topologia usual (induzida pela métrica), logo tomando $p_1 \in V = B_{\epsilon}(p_1) \cap P$ e $ p_2 \in U = B_{\epsilon}(p_2) \cap P$, temos que, $V,U \in \tau$, pois estamos trabalhando com a topologia de subespaço, e $V \cap U = \emptyset $, logo provamos que $(P, \tau)$ é um espaço de Hausdorff.…

topologia:exemplo:pentecomzerot3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T18:06:24+00:00

É Regular Note que $(P, \tau)$ satisfaz $T_1$, logo basta mostrar que $(P, \tau)$ satisfaz $T_3$. Tomemos então $p_1 \in P$ e $F \subset P$ fechado em $P$ e $p_1 \notin F$, como $F$ é fechado em $P \subset \mathbb{R}^2$ , existe um conjunto fechado $F' \subset \mathbb{R}^2$, na topologia usual, tal que $F = F' \cap P$, como $\mathbb{R}^2$ é $T_3$, existem abertos disjuntos $V,U \subset \mathbb{R}^2$ tais que $p_1 \in V$ e $F' \subset U$, note que $V \cap P$ e $U \cap P$$P$$p_1 \in V \cap P$$F…

topologia:exemplo:pentecomzerot3_1_2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T10:23:50+00:00

É completamente regular Como $(P, \tau)$ é normal ele é completamente regular, isto é, satisfaz $T_{3 \frac{1}{2}}$ e é $T_1$.

topologia:exemplo:pentecomzerot4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T18:19:45+00:00

É normal Como $P$ é $T_1$ basta mostrarmos que $P$ satisfaz $T_4$, sejam $F,G \subset P \subset \mathbb{R}^2$ fechados, sabemos existem fechados $F',G' \subset \mathbb{R}^2$ tal que $F = F' \cap P$ e $G = G' \cap P$, como $\mathbb{R}^2$ é normal, pois é métrico, temos que existem abertos disjuntos $V,U$, tais que $F \subset V$ e $G \subset U$, note que $V \cap P$ e $U \cap P$, são abertos disjuntos em $P$, pois estamos trabalhando com a topologia de subespaço, além disso temos que $F \subset (V…

topologia:exemplo:pentehomo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-27T15:36:56+00:00

Comportamento estranho da homotopia no espaço do pente com a origem Vamos dar um exemplo de um espaço contrátil para um ponto $x_0$ mas tal que a identidade não é homotópica relativamente a $\{x_0\}$. Mais precisamente, chame de $(X,\tau)$ o espaço do pente com a origem incluída e com os dentes de comprimento $1$$X=\{ (\frac{1}{n}, y) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ 0\leq y\leq 1, n \in \mathbb{N} \} \cup \{(x,0) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ x>0 \} \cup \{(0,y) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ 0\leq y\leq 1 \}$$\…

topologia:exemplo:pentesemzero

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T16:19:57+00:00

Espaço do Pente sem a Origem O Espaço do Pente sem a origem é a união das partes positivas dos eixos $x$ e $y$ de $\mathbb{R}^2$ (sem incluir a origem, é claro), mais a parte acima do eixo $x$ das semirretas verticais $x=\frac{1}{n}$, para cada $n \in \mathbb{N}$. Isso é ilustrado na figura abaixo (toda a parte azul).$A = \{ (\frac{1}{n}, y) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ y \geq 0, n \in \mathbb{N} \} \cup \{(x,0) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ x > 0 \}$$B = \{(0,y) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ y > 0 \}$$X = A…

topologia:exemplo:planoniemytski

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-19T21:23:33+00:00

Plano de Niemytski Definição: Considere $P=\{(x,y): x, y \in \mathbb{R}, y \geq 0\}$ com a topologia de forma que: (a) Se $(x,y)$ é tal que $y>0$, então uma vizinhança básica de $(x,y)$ é da forma de uma bola aberta centrada em $(x,y)$ que não intercepta o eixo $x$, isto é, $B_{\varepsilon}((x,y))$ com $0< \varepsilon0\}$$x$$(x,0)$$B_y((x,y)) \cup \{(x,0)\}$$B_y((x,y))$$\mathbb{R}^2$

topologia:exemplo:quadradoretadesorgenfrey

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T18:32:36+00:00

Quadrado da reta de Sorgenfrey Definição: O quadrado da reta de Sorgenfrey ($\mathbb R_S \times \mathbb R_S$) - também chamado plano de Sorgenfrey - é o espaço topológico obtido pelo produto cartesiano de duas retas de Sorgenfrey, isto é, retas reais com a topologia de Sorgenfrey. Seus abertos são definidos a partir da topologia produto e, portanto, uma base para tal espaço é dada por $$\mathcal{B} = \left\{[x,x+r[ \times [y,y+r[, \,\text{tal que} \,(x,y)\in \mathbb R^2, r \in \mathbb R_{>0}\…

topologia:exemplo:quadradosorgenfreybaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-22T14:07:18+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey não possui base enumerável Suponha, por absurdo, que existe uma base enumerável $\mathcal{B}$ do plano de Sorgenfrey. Para cada $x \in \mathbb{R}$, seja $B_x \in \mathcal{B}$ tal que $(x,x) \in B_x \subset [x,x+1[ \times [x,x+1[$. Perceba que, se $x \neq y$, então $B_x \neq B_y$, pois, supondo sem perda de generalidade que $x

topologia:exemplo:quadradosorgenfreybaselocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-08T17:46:46+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey possui bases locais enumeráveis Como a reta de Sorgenfrey possui bases locais enumeráveis, então o quadrado também possui. Alternativamente, note que, para cada $(x,y) \in \mathbb R_S \times \mathbb R_S$, o conjunto $$\mathcal B_{(x,y)} = \left\{ \left[x,x+\frac{1}{n}\right[ \times \left[y,y+\frac{1}{n}\right[ : n\in\mathbb N_{>0}\right\}$$ é uma base local enumerável.

topologia:exemplo:quadradosorgenfreycompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-22T13:45:58+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey não é compacto Suponha que seja. Então, como $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ é de Hausdorff e todo espaço compacto de Hausdorff é normal, obtemos que $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ é normal, o que é um absurdo. Alternativamente, note que a cobertura aberta $\mathcal{C} = \left\{ [a,a+1[ \times [b,b+1[ \;: a,b \in \mathbb{Z}\right\}$ do quadrado da reta de Sorgenfrey não possui subcobertura finita.

topologia:exemplo:quadradosorgenfreycompregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-08T17:33:44+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey é completamente regular Sejam $(x_0,y_0) \in \mathbb R_S\times\mathbb R_S$ e $F \subset \mathbb R_S\times\mathbb R_S$ fechado tal que $(x_0,y_0) \notin F$. Como o quadrado da reta de Sorgenfrey é $T_1$, devemos mostrar que existe $f: \mathbb R_S\times\mathbb R_S \to [0,1]$ contínua tal que $f(x_0,y_0) = 0$ e $f[F] = \{1\}$. Considere $A_1 \times A_2$ um aberto básico (isto é, $A_i=[a_i,a_i+r_i[$, para algum $a_i\in \mathbb R$ e $r_i>0$, $i=1,2$) tal que $(x_0…

topologia:exemplo:quadradosorgenfreyconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-22T14:43:29+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey não é conexo Primeiramente, note que os conjuntos $]-\infty,0[ \times \mathbb{R}$ e $[0,+\infty[ \times \mathbb{R}$ são abertos disjuntos no plano de Sorgenfrey, pois não há intersecção na primeira coordenada e $]-\infty,0[$, $[0,+\infty[$ e $\mathbb{R}$ são abertos da reta de Sorgenfrey. Portanto, como $$\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S = \;]-\infty,0[ \times \mathbb{R}\; \cup\; [0,+\infty[ \times \mathbb{R},$$ obtemos que o quadrado da reta de Sorgenfrey não …

topologia:exemplo:quadradosorgenfreyconexocaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-22T14:46:53+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey não é conexo por caminhos Como $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ não é conexo e todo espaço conexo por caminhos tem que ser conexo, obtemos que o quadrado da reta de Sorgenfrey não é conexo por caminhos.

topologia:exemplo:quadradosorgenfreylocconexcaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T16:41:11+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey não é localmente conexo por caminhos Como $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ não é localmente conexo e todo espaço localmente conexo por caminhos tem que ser localmente conexo, obtemos que o quadrado da reta de Sorgenfrey não é localmente conexo por caminhos.

topologia:exemplo:quadradosorgenfreylocconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T16:34:47+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey não é localmente conexo Suponha que seja. Então, por definição, todo ponto $x\in\mathbb{R}_S\times \mathbb{R}_S$ admite uma base local $\mathcal{B}_x$ conexa. Seja $B \in \mathcal{B}_{x}$. Como $x \in B$ e $B$ é aberto, então existe $\epsilon > 0$ tal que $[x, x+\epsilon[ \times [x,x+\epsilon[ \subset B$. Como $B$ é conexo, os únicos abertos fechados contidos em $B$ são o vazio e o próprio $B$$[x, x+\frac{\epsilon}{n+1}[ \times [x,x+\frac{\epsilon}{n+1}[$$B$$n\…

topologia:exemplo:quadradosorgenfreymetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-08T17:58:01+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey não é metrizável Suponha que seja. Então, como todo espaço metrizável é normal, $\mathbb R_S \times \mathbb R_S$ é normal, o que é um absurdo.

topologia:exemplo:quadradosorgenfreynormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-08T17:37:19+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey não é normal Considere $D = \{ (x,-x) : x \in \mathbb R_S \}$. Note que * $D$ é discreto, pois os conjuntos da forma $[x,x+1[ \cap [-x,-x+1[ \cap D = \{(x,-x)\}$ são abertos em $D$ (intuitivamente, em todo ponto de $D$, existe um aberto que só “encosta” nele); * $D$ é fechado, pois $\mathbb R_S \times \mathbb R_S \setminus D$ é aberto. De fato, tomando $(x,y) \notin D$$y>-x$$A =[x,x+1[ \times [y,y+1[$$A \cap D = \emptyset$$y < -x$$\epsilon>0$$(x,y)$$D$$$A …

topologia:exemplo:quadradosorgenfreyparacompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T16:14:25+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey não é paracompacto Suponha que seja. Então, como $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ é de Hausdorff e todo espaço paracompacto de Hausdorff é normal, obtemos que $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ é normal, o que é um absurdo.

topologia:exemplo:quadradosorgenfreyregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-08T17:35:20+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey é regular Como a reta de Sorgenfrey é regular e o produto de espaços regulares é regular, então $\mathbb{R}_S \times \mathbb{R}_S$ é regular.

topologia:exemplo:quadradosorgenfreyseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-08T17:32:45+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey é separável Como a reta de Sorgenfrey é separável e o produto de espaços separáveis é separável, $\mathbb R_S \times \mathbb R_S$ é separável. Alternativamente, note que $\mathbb Q \times \mathbb Q$ é um denso enumerável em $\mathbb R_S \times \mathbb R_S$.

topologia:exemplo:quadradosorgenfreyt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-08T17:34:17+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey satisfaz $T_0$ Por satisfazer $T_1$ e todo $T_1$ satisfazer $T_0$, $\mathbb R_S \times \mathbb R_S$ satisfaz $T_0$.

topologia:exemplo:quadradosorgenfreyt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-08T17:34:34+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey satisfaz $T_1$ Por satisfazer $T_2$ e todo $T_2$ satisfazer $T_1$, $\mathbb R_S \times \mathbb R_S$ satisfaz $T_1$.

topologia:exemplo:quadradosorgenfreyt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-08T17:34:52+00:00

O quadrado da reta de Sorgenfrey é de Hausdorff Como a reta de Sorgenfrey satisfaz $T_2$, então o quadrado também satisfaz.

topologia:exemplo:racionaisviasorgenfrey

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-31T18:38:20+00:00

Racionais via Sorgenfrey Definição: Seja $\mathbb{R}_{S}$ a reta de Sorgenfrey, i.e., o espaço topológico $(\mathbb{R}, \tau_{S})$, onde $\tau_{S} = \{A \subset \mathbb{R} : \forall x \in A, \exists \epsilon > 0, [x, x+\epsilon[ \subset A\}$. Vamos chamar de Racionais via Sorgenfrey o espaço topológico $(\mathbb{Q}, \tau_{Q})$, onde $\tau_{Q} = \{A \cap \mathbb{Q} : A \in \tau_{S}\}$. Vamos denotar tal espaço por $\mathbb{Q}_{S}$. Axiomas de separação * Satisfaz $T_{0}$. (Kolmogorov)…

topologia:exemplo:racsorgbaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-27T13:36:01+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ possui base enumerável Para cada $x \in \mathbb{Q}_{S}$ sabemos que existe $\mathcal{B}_{x}$ base local enumerável. Considere $\mathcal{B} = \bigcup_{x \in \mathbb{Q}_{S}} \mathcal{B}_{x}$. Temos que $\mathcal{B}$ é base enumerável para $\mathbb{Q}_{S}$. De fato, sendo união enumerável de enumeráveis, temos que $\mathcal{B}$ é enumerável. Além disso, dado $U \subset \mathbb{Q}_{S}$ aberto, para cada $x \in U$$B \in \mathcal{B}_{x} \subset \mathcal{B}$$x \in B \subset U$…

topologia:exemplo:racsorgbaselocalenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-27T13:49:10+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ possui base local enumerável Como $\mathbb{R}_{S}$ possui base local enumerável, $\mathbb{Q}_{S}$, sendo subespaço de $\mathbb{R}_{S}$ também possui, conforme esse resultado.

topologia:exemplo:racsorgcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-27T13:58:13+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ não é compacto Basta notar que $\{[n, n + 1[ \cap \mathbb{Q} : n \in \mathbb{N}\}$ é cobertura para $\mathbb{Q}_{S}$ sem subcobertura finita.

topologia:exemplo:racsorgcompregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-24T09:22:18+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular Segue diretamente do fato que $\mathbb{R}_{S}$ é completamente regular e $\mathbb{Q}_{S}$ é subespaço de $\mathbb{R}_{S}$.

topologia:exemplo:racsorgconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-29T16:35:36+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ não é conexo Basta notar que $A = ]-\infty, 0[ \cap \mathbb{Q}$ e $B = [0, +\infty[ \cap \mathbb{Q}$ são abertos disjuntos em $\mathbb{Q}_{S}$, tais que $A \cup B = \mathbb{Q}$.

topologia:exemplo:racsorgconexocaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-30T13:08:35+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ não é conexo por caminhos Visto que conexidade por caminhos $\Rightarrow$ conexidade e $\mathbb{Q}_{S}$ não é conexo, então não pode ser conexo por caminhos.

topologia:exemplo:racsorgcontratil

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-31T18:55:42+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ não é contrátil De maneira análoga ao roteiro feito aqui, podemos provar que se um espaço topológico é contrátil, então deve ser conexo por caminhos. Como $\mathbb{Q}_{S}$ não é conexo por caminhos, então não pode ser contrátil.

topologia:exemplo:racsorgfrecheturysohn

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-31T18:48:17+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ é Frechét-Urysohn De fato, dados $A \subset \mathbb{Q}_{S}$ e $x \in \overline{A}$, como $\mathbb{Q}_{S}$ satisfaz $T_{1}$, existe $\mathcal{B}_{x} = \{B_{n} : n \in \mathbb{N}\}$ base local enumerável para $x$. Sem perda de generalidade, podemos supor que $B_{n+1} \subset B_{n}$. Agora, para cada $n \in \mathbb{N}$, tome $x_{n} \in A \cap B_{n}$. Note que dessa forma temos que $x_{n} \to x$.

topologia:exemplo:racsorghomogeneo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-31T19:06:13+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ é homogêneo Considere $f:\mathbb{Q}_{S} \to \mathbb{Q}_{S}$, dada por $f(x) = ax + b$, onde $a,b \in \mathbb{Q}_{S}$. Não é difícil mostrar que $f$ é homeomorfismo. Note também que dados $x, y \in \mathbb{Q}$, basta escolher $a,b \in \mathbb{Q}$ tais que $y = ax + b$.

topologia:exemplo:racsorglindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-29T14:17:24+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ é de Lindelöf Como $\mathbb{Q}$ é enumerável, para qualquer cobertura aberta $\mathcal{A}$ de $\mathbb{Q}_{S}$, tome, para cada $x \in \mathbb{Q}$, $A_{x} \in \mathcal{A}$, onde $x \in A_{x}$. Temos assim que $\{A_{x} \in \mathcal{A} : x \in \mathbb{Q}\}$ é subcobertura enumerável.

topologia:exemplo:racsorglocalcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-29T14:04:57+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ não é localmente compacto Suponha que $\mathbb{Q}_{S}$ seja localmente compacto. Então, dado $x \in \mathbb{Q}_{S}$, existe sistema fundamental de vizinhanças compactas. Seja $V$ uma tal vizinhança compacta para $x$ e seja $A \in \tau_{Q}$ tal que $x \in A \subset V$. Deve então existir $\epsilon > 0$ satisfazendo $\mathbb{Q}_{S} \cap [x, x+\epsilon[ \subset A \subset V$. Como $[x, x+\epsilon[ \subset \mathbb{R}$$\mathbb{R}_{S}$$\mathbb{Q}\cap [x, x+\epsilon[$$\mathbb{Q}_{S}$…

topologia:exemplo:racsorglocalconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-29T17:17:55+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ não é localmente conexa Seja $x \in \mathbb{Q}$ e $V \subset \mathbb{Q}$ é vizinhança de $x$. Seja $A \subset \mathbb{Q}$ aberto tal que $x \in A \subset V$, então deve existir $\epsilon > 0$ tal que $\mathbb{Q} \cap [x, x+\frac{\epsilon}{2}[ \varsubsetneq A \subset V$. Como $\mathbb{Q} \cap [x, x + \frac{\epsilon}{2}[$ é aberto fechado em $\mathbb{Q}_{S}$, então $V$ não pode ser conexo.

topologia:exemplo:racsorglocalconexocaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-30T13:18:28+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ não é localmente conexo por caminhos Segue do fato que $\mathbb{Q}_{S}$ não é localmente conexo e que conexidade por caminhos $\Rightarrow$ conexidade.

topologia:exemplo:racsorgmetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-30T13:47:50+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ é metrizável Já mostramos que $\mathbb{Q}_{S}$ satisfaz $T_{1}$. Sabemos que, nesse caso, como $\mathbb{Q}_{S}$ satisfaz $T_{3}$ e tem base enumerável, então deve ser separável e metrizável.

topologia:exemplo:racsorgnormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-24T08:26:49+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ satisfaz $T_{4}$ e é normal Como $\mathbb{Q}_{S}$ é regular e enumerável, então é normal. Tal resultado pode ser encontrado aqui.

topologia:exemplo:racsorgparacompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-29T14:18:41+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ é paracompacto Visto que $\mathbb{Q}_{S}$ é regular e de Lindelöf, então é paracompacto, conforme mostrado aqui.

topologia:exemplo:racsorgregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-24T08:20:19+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ satisfaz $T_{3}$ e é regular Segue diretamente do fato que $\mathbb{R}_{S}$ é regular e $\mathbb{Q}_{S}$ é subespaço de $\mathbb{R}_{S}$.

topologia:exemplo:racsorgseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-27T13:47:04+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ é separável Como $\mathbb{Q}_{S}$ possui base enumerável, então é separável.

topologia:exemplo:racsorgsequencecompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-31T19:10:07+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ não é sequencialmente compacto Como é mostrado aqui, sabemos que $\mathbb{Q}_{S}$ é metrizável. Como um espaço métrico é compacto se, e somente se, é sequencialmente compacto e $\mathbb{Q}_{S}$ não é compacto, então $\mathbb{Q}_{S}$ não pode ser sequencialmente compacto.

topologia:exemplo:racsorgt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-24T08:11:59+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ satisfaz $T_{0}$ Segue diretamente do fato que $\mathbb{R}_{S}$ satisfaz $T_{0}$ e $\mathbb{Q}_{S}$ é subespaço de $\mathbb{R}_{S}$.

topologia:exemplo:racsorgt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-24T08:13:21+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ satisfaz $T_{1}$ Segue diretamente do fato que $\mathbb{R}_{S}$ satisfaz $T_{1}$ e $\mathbb{Q}_{S}$ é subespaço de $\mathbb{R}_{S}$.

topologia:exemplo:racsorgt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-24T08:12:59+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ satisfaz $T_{2}$ Segue diretamente do fato que $\mathbb{R}_{S}$ satisfaz $T_{2}$ e $\mathbb{Q}_{S}$ é subespaço de $\mathbb{R}_{S}$.

topologia:exemplo:racsorgzerodimensional

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-30T13:59:24+00:00

$\mathbb{Q}_{S}$ é zero-dimensional Como $\mathbb{R}_{S}$ é zero-dimensional, seja $\mathcal{B}$ base de $\mathbb{R}_{S}$ constituída de abertos fechados. Note que $\mathcal{B}_{Q} = \{\mathbb{Q} \cap B : B \in \mathcal{B}\}$ é base para $\mathbb{Q}_{S}$ constituída de aberto fechados (em $\mathbb{Q}_{S}$).

topologia:exemplo:regncompbases

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T23:03:11+00:00

Bases para $(X,\tau)$ Lembre-se que $S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0\le y\le 2\}$, $p\in \mathbb{R}^2 \setminus S$ e $X=S\bigcup \{p\}$. A topologia $\tau$ sobre $X=S\bigcup \{p\}$ é a gerada pela coleção $\mathcal{B}$ de conjuntos da forma: * $\{(x,y)\}$, onde $(x,y)\in S$ e $y>0$; * $A_x\setminus F$, onde $F$ é um conjunto finito; * $\{p\} \bigcup U_n$. A coleção $\mathcal{B}$ é base para a topologia porque satisfaz as hipóteses do exercício 1.1.83.$B$\((x,0…

topologia:exemplo:regncompbasesloc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T22:58:44+00:00

Alguns pontos não têm base local enumerável Como $(X,\tau)$ é $T_1$, se $x\in X$ tem uma base local enumerável $\{B_n:n\in \mathbb{N}\}$, vale que $\{x\}=\underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcap}B_n$. De fato, claro que $x\in \underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcap}B_n$, e se $y\neq x$, temos que $X\setminus \{y\}$ é aberto, logo existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $x\in B_{n_0}\subset X\setminus \{y\}$, donde $y\notin \underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcap}B_n$ e segue a igualdade. Nesse caso, $\{x\}$ é um $G…

topologia:exemplo:regularmasncompletamente

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T22:27:40+00:00

Um espaço regular mas não completamente regular Se um espaço topológico é completamente regular ($T_{3\frac{1}{2}}$ e $T_1$), então ele também é regular ($T_3$ e $T_1$) (veja Todo espaço completamente regular é regular.). A recíproca não vale, e aqui vamos construir um exemplo de um espaço regular, mas não completamente regular. Esse exemplo foi retirado de [1]. $S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0\le y\le 2\}$$p\in \mathbb{R}^2 \setminus S$$X=S\bigcup \{p\}$$x\in \mathbb{R}$\(n\in \mat…

topologia:exemplo:retademichael

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-10T18:06:54+00:00

Reta de Michael Definição: Chamamos de reta de Michael o espaço topológico $(\mathbb{R}, \tau_{M})$, onde $\tau_{M} = \{A \cup B : A \in \tau $ e $ B \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\}$ (aqui $\tau$ representa a topologia usual em $\mathbb{R}$). Denotaremos a reta de Michael por $\mathbb{R}_{M}$. Axiomas de separação * Satisfaz $T_{0}$. (Kolmogorov) * Satisfaz $T_{1}$. (Fréchet) * Satisfaz $T_{2}$. (Hausdorff) *

topologia:exemplo:retadesorgenfrey

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-05T11:26:12+00:00

Reta de Sorgenfrey Definição: Chamamos de Reta de Sorgenfrey o conjunto $\mathbb{R}$ dos números reais dotado da topologia $\tau_{S} = \{A \subset \mathbb{R} : \forall x \in A, \exists \epsilon > 0, [x, x+\epsilon[ \subset A\}$. Denotaremos tal espaço topológico por $\mathbb{R}_{s}$. Axiomas de separação * Satisfaz $T_{0}$. (Kolmogorov) * Satisfaz $T_{1}$. (Fréchet) * Satisfaz $T_{2}$. (Hausdorff) * Satisfaz $T_{3}$ e é regular. * Satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente r…

topologia:exemplo:retaesburacada

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:30:49+00:00

Reta Esburacada Considere $\mathbb{R}$ com a topologia gerada pelos conjuntos da forma $(a,b) \setminus C$, onde $a < b \in \mathbb{Q}$ e $C \subset \mathbb{R}$ é enumerável. Este espaço será chamado de Reta Esburacada. Axiomas de separabilidade * Satisfaz $T_0$ (Kolmogorov). Demonstração * Satisfaz $T_1$ (Fréchet). Demonstração * Satisfaz $T_2$

topologia:exemplo:retausual

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T22:55:02+00:00

Reta com a topologia usual Definição: Chamamos de Reta com a Topologia Usual o conjunto $\mathbb{R}$ dos números reais, com a topologia $\tau = \{A \subset \mathbb{R} \,\,|\,\, \forall x \in A, \exists \epsilon > 0, \mbox{ tal que } (x - \epsilon, x + \epsilon) \subset A\}$. A topologia $\tau$ é induzida pela métrica $d : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definida por $d(x,y) = \vert x - y \vert$. Axiomas de separação * Satisfaz $T_{0}$. (Kolmogorov) * Satisfaz $T_{1}$. (…

topologia:exemplo:retausualbaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T21:59:57+00:00

Todo espaço métrico completo é um espaço de Baire.

topologia:exemplo:retausualbaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-20T14:00:52+00:00

Vamos mostrar que o conjunto $\mathcal{B} = \{]a, b[ ; a,b \in \mathbb{Q} \}$ é uma base para a topologia usual de $\mathbb{R}$. Sejam $x \in \mathbb{R}$ e $A \in \tau$, tal que $x \in A$. Como $A$ é aberto existe $\epsilon > 0$ para o qual $] x-\epsilon, x+\epsilon[ \subset A$. Pela densidade dos racionais na reta real, existem $a,b \in \mathbb{Q}$ tais que $$ x - \epsilon < a < x < b < x + \epsilon.$$ De onde segue que para $B = ]a,b[ \in \mathcal{B}$ vale que $x \in B \in A$. Portanto, $\mat…

topologia:exemplo:retausualcompregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-21T23:06:32+00:00

Como $\mathbb{R}$ é localmente compacto e de Hausdorff então $\mathbb{R}$ é completamemte regular.

topologia:exemplo:retausualconexidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T21:51:11+00:00

Basta observar que $\mathbb{R} = (-\infty, \infty)$ e que todo intervalo da reta é conexo.

topologia:exemplo:retausualconexidadecaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T23:07:24+00:00

Vamos mostrar que todo intervalo é conexo por caminhos, em particular $\mathbb{R}$ é conexo por caminhos. Seja $A \subset \mathbb{R}$ um intervalo. 1º caso: $A = [a, b]$. Sejam $x, y \in [a,b]$, podemos supor, sem perda de generalidade que $x \leq y$, então para todo $t \in [0,1]$ $$ a \leq x = (1 - t)x + tx \leq (1 - t)x + ty \leq (1 - t)y + ty = y \leq b.$$ Logo, $f : [0, 1] \to [a,b]$ dada por $f(t) = (1-t)x + ty$ é um caminho de $x$ para $y$. A demonstração é análoga para os casos: $A = (a…

topologia:exemplo:retausualcontratil

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T23:06:11+00:00

Veja que função $H(x,t) = (1-t)x$ é contínua, $H(x,0) = x$ e $H(x,1) = 0$, para todo $x \in X$, de onde segue que $Id_{\mathbb{R}} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é homotópica a função constante igual a zero. Portanto $\mathbb{R}$ é contrátil.

topologia:exemplo:retausualintervalo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-21T22:49:32+00:00

Seja $a, b \in \mathbb{R}$ com $a < b$. Seja $\mathcal{A} = \{ U_i \}_{i \in I}$ uma cobertura aberta de $[a, b]$. Então para todo $x \in [a,b]$, $$[a,x] \subset \bigcup_{i \in I} U_i. $$ Considete $S$ o conjunto de todos os $x \in [a,b]$ tal que $[a,x]$ admite uma subcobertura finita de $\mathcal{A}$. Claramente $a \in S$, logo $S$ não é vazio. Assim, $S \subset \mathbb{R}$ é um conjunto não vazio limitado superiormente por $b$. Seja então $x_0 = \sup S$$x_0 \leq b$$x_0 < b$$a \in S$$i_j$$\epsi…

topologia:exemplo:retausuallocalconexidade

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T23:17:57+00:00

Para cada $x \in \mathbb{R}$, $$ \{(x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}}, $$ é uma base local conexa para $x$, pois todo intervalo é conexo.

topologia:exemplo:retausuallocalconexidadecaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-22T23:12:38+00:00

Para cada $x \in \mathbb{R}$, $$ \{(x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}}, $$ é uma base local conexa por caminhos para $x$, pois todo intervalo é conexo por caminhos.

topologia:exemplo:retausualloccompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-21T22:58:25+00:00

Como todo intervalo $[a, b]$ é compacto em $\mathbb{R}$ , para cada $x \in \mathbb{R}$, $$ \{[x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}] \}_{n \in \mathbb{N}}, $$ é um sistema fundamental de vizinhanças compactas para $x$.

topologia:exemplo:retausuallocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-30T11:13:51+00:00

Para cada $x \in \mathbb{R}$, $$ \{(x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}}, $$ é uma base local para $x$. De fato, seja $A \subset \mathbb{R}$ aberto tal que $x \in A$, então existe $\epsilon > 0 $ tal que $(x - \epsilon, x + \epsilon) \subset A$, logo pela propriedade arquimediana existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n_0} < \epsilon \Rightarrow (x - \frac{1}{n_0}, x + \frac{1}{n_0}) \subset A$.

topologia:exemplo:retausualnormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T21:26:07+00:00

Todo espaço métrico é normal.

topologia:exemplo:retausualparacompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T22:38:26+00:00

$\mathbb{R}$ possui base enumerável e é regular logo é paracompacto.

topologia:exemplo:retausualregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-30T11:09:06+00:00

Para cada $x \in \mathbb{R}$, $$ \{[x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}] \}_{n \in \mathbb{N}}, $$ é um sistema fundamental de vizinhanças fechadas para $x$. De fato, seja $A \subset \mathbb{R}$ aberto tal que $x \in A$, então existe $\epsilon > 0 $ tal que $(x - \epsilon, x + \epsilon) \subset A$, logo pela propriedade arquimediana existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n_0} < \epsilon \Rightarrow [x - \frac{1}{n_0}, x + \frac{1}{n_0}] \subset A$. Assim, $\mathbb{R}$ é $T_3$. Como também é …

topologia:exemplo:retausualseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-30T11:17:45+00:00

O conjunto $\mathbb{Q}$ dos números racionais é um subconjunto denso enumerável de $\mathbb{R}$.

topologia:exemplo:retausualseqcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T21:36:28+00:00

Como $\mathbb{R}$ é um espaço métrico não compacto, então não pode ser sequencialmente compacto.

topologia:exemplo:retausualt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-30T10:41:41+00:00

Dados dois pontos distintos $x, y \in \mathbb{R}$. Suponha que $x < y$, tome $A = (x-1, y)$, então $A$ é aberto tal que $x \in A$ e $y \notin A$.

topologia:exemplo:retausualt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-30T10:48:56+00:00

Sejam $x,y \in \mathbb{R}$ distintos. Se $x < y$, $A = (x - 1, y)$ é um aberto tal que $x \in A$ e $y \notin A$. Se $y < x$, então $B = (y, x + 1)$ é um aberto que satisfaz $x \in B$ e $y \notin B$.

topologia:exemplo:retausualt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-30T10:51:43+00:00

Sejam $x,y \in \mathbb{R}$ distintos. Suponha, sem perda de generalidade que $ x < y$, tome $m = \frac{x + y}{2}$ e considere os conjuntos abertos $A = (x - 1, m)$ e $B = (m, y + 1)$, então $x \in A$, $y \in B$ e $A \cap B = \emptyset$.

topologia:exemplo:retausualtotlimitado

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T21:33:19+00:00

Como $\mathbb{R}$ é um espaço métrico completo, se fosse totalmente limitado então seria compacto, o que é uma contradição. Portanto, $\mathbb{R}$ não é totalmente limitado.

topologia:exemplo:rnmetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-07T22:11:03+00:00

$\mathbb{R^n}$ é metrizável Com efeito, vejamos que um elemento básico do produto, digamos $E_1 \times \ldots \times E_n$, onde $E_i \subset \mathbb{R}$ é aberto, é aberto na topologia induzida pela métrica dada por $$d((x_1,x_2,\ldots,x_n),(y_1,y_2,\ldots,y_n))= \max \lbrace |x_1-y_1|,|x_2-y_2|,\ldots,|x_n-y_n| \rbrace.$$ Dado $x=(x_1,\ldots,x_n) \in E_1 \times \ldots \times E_n$, então existem $\delta_1,\ldots,\delta_n \in \mathbb{R}_{>0}$ tais que $(x_i-\delta_i,x_i+\delta_i) \subset E_i$,…

topologia:exemplo:satizt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T00:03:25+00:00

Satisfaz $T_0$ Demonstração. Sabemos que o produto de $T_0$ é $T_0,$ logo $\mathbb{R}^{[0,1]}$ é $T_0$ e segue que $C_{p}([0,1])$ também é $T_0.$ $~~~~~~~~\square$

topologia:exemplo:satizt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T00:03:50+00:00

Satisfaz $T_1$ Demonstração. Sabemos que o produto de $T_1$ é $T_1,$ logo $\mathbb{R}^{[0,1]}$ é $T_1$ e segue que $C_{p}([0,1])$ também é $T_1.$ $~~~~~~~~\square$

topologia:exemplo:satizt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T00:04:15+00:00

Satisfaz $T_2$ Demonstração. Sabemos que o produto de $T_2$ é $T_2,$ logo $\mathbb{R}^{[0,1]}$ é $T_2$ e segue que $C_{p}([0,1])$ também é $T_2.$ $~~~~~~~~\square$

topologia:exemplo:satizt3.0.5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T00:06:33+00:00

Satisfaz $T_{3\frac12}$, logo é completamente regular Demonstração. Sabemos que o produto de $T_{3\frac12}$ é $T_{3\frac12},$ logo $\mathbb{R}^{[0,1]}$ é $T_{3\frac12}$ e segue que $C_{p}([0,1])$ também é $T_{3\frac12}.$ Como satisfaz $T_1$, então $C_{p}([0,1])$ é completamente regular. $~~~~~~~~\square$

topologia:exemplo:satizt3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T00:04:37+00:00

Satisfaz $T_3$ Demonstração. Sabemos que o produto de $T_3$ é $T_3,$ logo $\mathbb{R}^{[0,1]}$ é $T_3$ e segue que $C_{p}([0,1])$ também é $T_3.$ $~~~~~~~~\square$

topologia:exemplo:satizt4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T16:07:55+00:00

Satisfaz $T_{4}$, logo é normal. Demonstração. Sabemos que todo espaço de Haussdorff paracompacto é coletivamente normal, e portanto $C_{p}([0,1])$ não só é normal, como também é coletivamente normal. $~~~~~~~~\square$ Veja também: * $C_{p}([0,1])$ é paracompacto.

topologia:exemplo:seno

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T12:36:11+00:00

Seno do topólogo Definição O conjunto $\bar{S} \in \mathbb{R}^2$ com a topologia usual, em que $S = \{(x, sin (\frac{1}{x})) \in \mathbb{R}^2 : x \in (0, 1]\}$ $\cup$ $\{(0, 0) \in \mathbb{R}^2\}$ é chamado de seno do topólogo. Axiomas de separação * Satisfaz $T_{0}$. * Satisfaz $T_{1}$. * Satisfaz $T_{2}$. * Satisfaz $T_{3}$ e é regular * Satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular. * Satisfaz $T_{4}$ e é normal. Axiomas de enumerabilidade * Possui bases l…

topologia:exemplo:separv

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-02T17:15:30+00:00

É separável Demonstração. Vamos construir uma família enumerável e densa de funções contínuas reais definidas em $[0,1]$. Considere $\{y_i\}_{i\in \mathbb{N}}$ uma enumeração dos racionais. Tome $n-$uplas $(y_{i_1},\ldots,y_{i_n})=B,$ com $i_k\in \mathbb{N}$, para todo $k=1,\ldots,n$. Seja $\{U_{j}\}_{j\in \mathbb{N}}$ uma enumeração dos intervalos abertos de $[0,1]$ (com a topologia induzida de $\mathbb{R}$$\mathcal{A}=\{U_{j_1},\ldots,U_{j_n}\}$$\{U_{j}\}_{j\in \mathbb{N}}$$$f_{\mathcal{A},…

topologia:exemplo:seq2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-04-30T19:47:55+00:00

Na topologia discreta, as sequências convergentes são as sequências quase constantes Seja $X$ espaço topológico com a topologia discreta. Evidentemente, toda sequência quase constante é convergente. Por outro lado, se uma sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma sequência convergente em $X$$x \in X$$\lbrace x \rbrace$$n_0 \in \mathbb{N}$$n \geq n_0$$x_n \in \lbrace x \rbrace$$x_n=x$$n \geq n_0$

topologia:exemplo:seq3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-05-01T09:16:26+00:00

Sejam $X=\mathbb{N} \cup \lbrace a \rbrace$, onde $a \notin \mathbb{N}$, e $\tau=P(\mathbb{N}) \cup \lbrace \mathbb{N}\cup \lbrace a \rbrace \rbrace$. Então, qualquer sequência em $X$ é convergente e converge para $a$. Sejam $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de termos de $X$$U$$a$$U= \mathbb{N} \cup \lbrace a \rbrace$$a \notin \mathbb{N}$$x_n \in U$$n \in \mathbb{N}$$x_n \to a$

topologia:exemplo:seqconv

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-25T22:27:17+00:00

Espaço da Sequência Convergente Definição: Chamamos de espaço da sequência convergente o conjunto $X = \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ com a topologia $\tau$ gerada pelos conjuntos: $\{ n \}_{n \in \mathbb{N}}$ e $\{\infty \} \cup A$, onde $A \subset \mathbb{N}$ e $\mathbb{N} \setminus A$ é finito. Observe que um conjunto contendo $\infty$ é aberto se, e somente se, apenas uma quantidade finita de elementos de $\mathbb{N}$$(X, \tau)$$$\tau=\wp(\mathbb{N})\cup\{A\subset X\,\,|\,\,\infty\in A\mbox{…

topologia:exemplo:sequenciaexcluidadesmirnov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T06:09:50+00:00

Sequência Excluída de Smirnov Definição$^{(1)}$: Seja $X$ o conjunto de números reais e seja $A_{n}$ = {$\frac{1}{n} : n=1,2,3,\ldots, n \in \mathbb{N}$}. Definimos uma topologia $\tau$ em X, onde $ 0 \in \tau$ se $0 = U-B$, onde $B ⊂ A$ e $U$ é um conjunto aberto na topologia euclidiana em $\mathbb{R}$. A topologia $\tau$ é chamada de topologia Smirnov em X.$T_{0}$$T_{1}$$T_{2}$$T_{3}$$T_{3_{\frac{1}{2}}}$$T_{4}$

topologia:exemplo:sinbaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:51:05+00:00

Note que $\bar{S} \subset \mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^2$ é um espaço métrico, então, por $\bar{S}$ ser metrizável e também ser compacto, $\bar{S}$ admite base enumerável.

topologia:exemplo:sinbaselocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:51:29+00:00

Note que $\bar{S} \subset \mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^2$ é um espaço métrico, então, por $\bar{S}$ ser metrizável, admite bases locais enumeráveis.

topologia:exemplo:sincompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T16:08:11+00:00

Note que $\bar{S}$ é um conjunto fechado e limitado, logo, compacto.

topologia:exemplo:sincompconex

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T12:37:41+00:00

Note que como $\bar{S}$ é conexo, só admite uma componente conexa (o próprio $\bar{S}$), que é aberta.

topologia:exemplo:sinconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T16:12:15+00:00

Suponha que não, ou seja, suponha que $\exists$ $A, B \subset \bar{S}$ abertos não-vazios tais que $A \cap B = \emptyset $ e que $A \cup B = \bar{S}$. Agora, note que se $(x, sin(\frac{1}{x})) \in B $ para algum $x > 0$, $\{(x, sin(\frac{1}{x})) : x > 0\} \subset B$ e $(0, 0) \in A$. Com isso, qualquer vizinhança de $(0, 0)$ contém um ponto $( \frac{1}{n \pi}, sin(n \pi))$ para algum $n \in \mathbb {N}$ e então $A \cap B \neq \emptyset$.

topologia:exemplo:sinloccomp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T16:02:52+00:00

Note que qualquer vizinhança $V$ do ponto $(0, 0)$ é tal que $B_\epsilon ((0, 0)) \cap \bar{S} \subset V$ para algum $\epsilon > 0$. Note que $(0, \frac{\epsilon}{2}) \cap B_\epsilon ((0, 0)) \cap \bar{S} \neq \emptyset$. Além disso, $x_n \in (0, \frac{\epsilon}{2}) \cap B_\epsilon ((0, 0)) \cap \bar{S} $ não admite ponto de acumulação em $V$, logo, $V$ não é compacto e então $\bar{S}$ não é localmente compacto.

topologia:exemplo:sinlocconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-31T22:06:34+00:00

Tome $(0, 0) \in \overline{S}$ com $y \neq 0$. Note que $\exists D \subset B_\epsilon ((0, 0))$ com $D = \{(x, sin(\frac{1}{x})): x \in (0, 1]\}$ e $\epsilon > 0$. Além disso, note que $D \subset B_\epsilon((0, 0))$ é uma componente conexa de $(0, 0)$ em $B_\epsilon((0, 0))$, assim, $B_\epsilon((0, 0))$ não é conexo. Logo, $\overline{S}$ não é localmente conexo.

topologia:exemplo:sinseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:53:36+00:00

Note que $\bar{S} \subset \mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^2$ é um espaço métrico, então, por $\bar{S}$ ser metrizável e compacto, $\bar{S}$ é separável.

topologia:exemplo:sint0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:29:38+00:00

Note que $\bar{S}$ é $T_1$, logo, é $T_0$.

topologia:exemplo:sint1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:48:00+00:00

Note que $\bar{S} \subset \mathbb {R}^2$ tem a topologia induzida de $\mathbb{R}^2$, que é $T_1$. Logo $\bar{S}$ é $T_1$.

topologia:exemplo:sint2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:56:09+00:00

Note que como $\bar{S} \subset \mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^2$ é $T_2$, então $\bar{S}$ é $T_2$.

topologia:exemplo:sint3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:17:12+00:00

Note que como $\bar{S} \subset \mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^2$ é $T_3$ (e regular por ser $T_1$), então $\bar{S}$ é $T_3$ e, consequentemente regular.

topologia:exemplo:sint4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:33:58+00:00

Note que como $\bar{S} \subset \mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^2$ é $T_4$ (e normal), então $\bar{S}$ é $T_4$ (e normal).

topologia:exemplo:sint312

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T18:26:02+00:00

Note que como $\bar{S} \subset \mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^2$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ (e completamente regular por ser $T_1$), então $\bar{S}$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ e, consequentemente completamente regular.

topologia:exemplo:smirnov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T06:11:47+00:00

Queremos mostrar que a topologia X($\tau_{X}$) é $T_{0}$ está prova é direta, pois X é $T_{2}$ (Hausdorff) (Demonstração).

topologia:exemplo:smirnov1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T06:14:17+00:00

Temos que a prova é direta, então a topologia $X$ é $T_{1}$, pois é $T_{2}$(Hausdoff) (Demonstração).

topologia:exemplo:smirnov2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T06:33:51+00:00

Queremos provar que a topologia $X$ satisfaz a condição de $T_{2}$ (Hausdoff). Então por definição tomamos dois pontos da reta distintos $x,y \in \mathbb{R}$, é verdade que $∃$ uma distância positiva $d(x,y)>0$ tal que $\varepsilon : d(x,y)= \varepsilon >0 \in \mathbb{R}$. Tomamos dois abertos $A,B$ tal que: * $ A = U_{x} - M$ : $U_{x} = ] x - \frac{\varepsilon}{4}, \frac{\varepsilon}{4} + x [$, onde $M = \varnothing ⊂ A_{n}$; * $ B = U_{y} - N$ : $U_{y} = ] y - \frac{\varepsilon}{3}, \f…

topologia:exemplo:smirnov3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T07:00:43+00:00

Para mostrar que a topologia $X$, não satisfaz $T_{3}$, vamos usar um contraexemplo. É verdade que $x=0 \in \mathbb{R}$, portanto $∃ M$ um aberto na topologia $X$ que contêm 0, sabemos que $A_{n}$ é um conjunto fechado na topologia X, para verificar o fato, tomamos o intervalo fechado $[0,1]$ onde $A_{n} ⊂ [0,1]$$$[0,1] \ A_{n} = ∪^{\infty}_{i=0} ]a_{i},b_{i}[ = [0,a_{0} ∪ \ldots ∪ b_{\infty},1]$$$a_{i} < b_{i} \in \mathbb{R}$$[0,1]$$A_{n} ⊂ D$$0 \notin D$$M$$X$$]0-\gamma,0+\gamma[ ⊂ M$$\gamma…

topologia:exemplo:smirnov4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T07:09:53+00:00

Queremos mostrar que a topologia $X$ não satisfaz $T_{4}$. Então vamos mostrar com um contraexemplo. De maneira semelhante ao exemplo anterior, tomamos dois conjuntos fechamos disjunto $F = A_{n}$ e $G$ = {0}, onde {0} é fechado, pois a topologia $X$ é $T_{1}$ (Demonstração). Para ser $T_{4, necessitamos que exista dois conjuntos abertos $E,S$ disjuntos tal que $$ e $$, porém como já vimo não existem esses dois abertos disjuntos, pois $$, com $$, e, se tomarmos dois fechados não temos abertos…

topologia:exemplo:smirnov5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T07:01:05+00:00

Temos que a topologia X não pode ser $T_{3_{\frac{1}{2}}}$, pois não satisfaz $T_{3}$ (Demonstração).

topologia:exemplo:smirnov6

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T07:17:07+00:00

A topologia $X$ tem bases locais enumeráveis, pois existe bases enumeráveis (Demonstração).

topologia:exemplo:smirnov7

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T07:35:24+00:00

Queremos mostrar que na topologia $X$ existe bases locais enumeráveis, para provar isso mostraremos que a topologia $X$ possui base enumerável. Portanto, tomamos $\mathfrak{A}$ uma base enumerável de $\mathbb{R}$, onde vamos tomar $B_{n} ⊂ A_{n}$ definido da forma, para qualquer $n \in \mathbb{N}$, definimos $B_{n}$= {$\frac{1}{j}: j ≠ n \in \mathbb{N}$$\mathfrak{B}$$ A-B_{n}: A ⊂\mathfrak{A}, n \in \mathbb{N}$$X$$(A - B_{1}) ∪ (A - B_{2}) ∪\ldots∪ (A - B_{n}) = A - ∪^{\infty}_{i=1} B_{i}$$B_{n…

topologia:exemplo:smirnov8

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T07:36:43+00:00

Temos que a topologia $X$ é separável, pois possui bases enumeráveis (Demonstração).

topologia:exemplo:smirnov10

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T07:13:48+00:00

Temos que a topologia $X$ não é $T_{3}$ (Demonstração), portanto não é metrizável.

topologia:exemplo:sorgenfreybaire

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-22T20:46:47+00:00

A reta de Sorgenfrey é espaço de Baire Antes de tudo, vamos mostrar duas afirmações: Afirmação 1: Dado $A \subset \mathbb{R}_{S}$ aberto denso, então existe $B \subset A$ aberto denso em $\mathbb{R}$. De fato, podemos escrever $A = \bigcup_{\xi \in \Gamma} [a_{\xi}, b_{\xi}[$. Como em $\mathbb{R}$ os conjuntos $]a_{\xi}, b_{\xi}[$, $\xi \in \Gamma$ são abertos, então $B = \bigcup_{\xi \in \Gamma} ]a_{\xi}, b_{\xi}[$ é aberto em $\mathbb{R}$$B \subset A$$]a,b[ \subset \mathbb{R}$$a < b$$]a,…

topologia:exemplo:sorgenfreybaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-10T14:01:29+00:00

A reta de Sorgenfrey não possui base enumerável Seja $\mathcal{B}$ uma base para a topologia de $\mathbb{R}_{S}$. Vamos mostrar que a cardinalidade de $\mathcal{B}$ deve ser no mínimo $\mathfrak{c}$. Note que para cada $x \in \mathbb{R}$, $[x, x+1[$ é aberto. Como $\mathcal{B}$ é base, existe $\mathcal{B}_{x} \in \mathcal{B}$ tal que $x \in \mathcal{B}_{x} \subset [x,x+1[$. Defina $f : \mathbb{R} \to \mathcal{B}$ dada por $f(x) = \mathcal{B}_{x}$. Mostremos que $f$$x < y$$f(y) = \mathcal{B}_…

topologia:exemplo:sorgenfreybaselocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-10T14:01:03+00:00

A reta de Sorgenfrey possui base local enumerável Para cada $x \in \mathbb{R}_{S}$, considere $\mathcal{B} = \{[x, x + \frac{1}{n}[ : n \in \mathbb{N}_{>0}\}$. Vamos mostrar que que $\mathcal{B}$ é base local para $x$. Primeiro note que $\forall n \in \mathbb{N}_{>0}$, $x \in [x, x + \frac{1}{n}[$ e é aberto. Agora, dado $A \subset \mathbb{R}_{S}$ aberto tal que $x \in A$, então existe $\epsilon > 0$ tal que $[x, x + \epsilon[ \subset A$. Seja $n \in \mathbb{N}_{>0}$ tal que $\frac{1}{n}<\ep…

topologia:exemplo:sorgenfreyccc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-21T17:37:01+00:00

A reta de Sorgenfrey é ccc Como $\mathbb{R}_{S}$ é separável, então deve ser ccc, conforme mostrado aqui.

topologia:exemplo:sorgenfreycompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-10T14:02:14+00:00

A reta de Sorgenfrey não é compacta Note que $\mathcal{B} = \{[-n, n[ : n \in \mathbb{N}_{>0}\}$ é uma cobertura aberta para $\mathbb{R}_{S}$ que não possui subcobertura finita.

topologia:exemplo:sorgenfreycompmetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-21T16:44:42+00:00

A reta de Sorgenfrey não é completamente metrizável Como $\mathbb{R}_{S}$ não é metrizável, não pode ser completamente metrizável.

topologia:exemplo:sorgenfreycompregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-10T14:00:11+00:00

A reta de Sorgenfrey satisfaz $T_{3 \frac{1}{2}}$ e é completamente regular Sejam $x \in \mathbb{R}_{S}$ e $F \subset \mathbb{R}_{S}$ fechado tal que $x \notin F$. Daí existe $\epsilon > 0$ tal que $[x, x+ \epsilon[ \cap F = \emptyset$. Defina $f:\mathbb{R}_{S} \to [0,1]$ dada por: \begin{equation} f(y) = \begin{cases} \frac{|x - y|}{\epsilon}\text{,} & y \in [x, x+\epsilon[\\ 1 \text{,}& \text{caso contrário} \end{cases} \end{equation} Note que $f$ está bem definida, poi…

topologia:exemplo:sorgenfreyconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-16T14:58:29+00:00

A reta de Sorgenfrey não é conexa Basta notar que $]-\infty, 0[$ e $[0, +\infty[$ são abertos disjuntos de $\mathbb{R}_{S}$ tais que $\mathbb{R}_{S} = ]-\infty, 0[ \cup [0, +\infty[$.

topologia:exemplo:sorgenfreyconexocaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-16T15:04:16+00:00

A reta de Sorgenfrey não é conexa por caminhos Como $\mathbb{R}_{S}$ não é conexa, então também não pode ser conexa por caminhos, conforme mostrado aqui.

topologia:exemplo:sorgenfreycontratil

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-21T11:01:26+00:00

A reta de Sorgenfrey não é contrátil De fato, se $\mathbb{R}_{S}$ fosse contrátil, então existiria $H:X \times [0,1] \to X$ contínua tal que $H(x,0) = Id_{x} = x$ e $H(x,1) = c$, para algum $c \in X$, ou seja, $Id_{x} \simeq c$. Daí poderíamos definir, para todo $x \in X$, $\alpha_{x} : [0,1] \to X$ por $\alpha_{x}(t) = H(x,t)$. Pela continuidade de $H$ temos que $\alpha_{x}$ seria contínua e, além disso, $\alpha_{x}(0) = x$$\alpha_{x}(1) = c$$X$

topologia:exemplo:sorgenfreylindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-16T14:15:02+00:00

A reta de Sorgenfrey é de Lindelöf Seja $\mathcal{A}$ uma cobertura aberta para $\mathbb{R}_{S}$. Seja $a \in \mathbb{R}$ e considere o conjunto: \begin{equation} \mathcal{B}_{a} = \{x \in \mathbb{R} : x \geq a \text{ e } [a,x] \text{ é coberto por enumeráveis elementos de } \mathcal{A}\} \end{equation} Vamos mostrar que sup $\mathcal{B}_{a} = \infty$. Note que $a \in \mathcal{B}_{a}$. Suponha que $a \leq$ sup $\mathcal{B}_{a} = b$. Observe que como existe $A \in \mathcal{A}$ tal que $a…

topologia:exemplo:sorgenfreyloccompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-10T14:02:45+00:00

A reta de Sorgenfrey não é localmente compacta Primeiro vamos mostrar que $[a,b[$ não é compacto, $\forall a,b \in \mathbb{R}$. De fato, considere a sequência $x_{n} = b - \frac{1}{n}$, $n \in \mathbb{N}_{>0}$. Assim existe $n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que, $\forall n \geq n_{0}$, temos que $x_{n} \in [a,b[$. Considere a coleção $\mathcal{C} = \{[x_{n}, x_{n + 1}[ : n \geq n_{0}\} \cup \{[a, x_{n_{0}}[\}$. Observe que $\mathcal{C}$ é cobertura aberta para $[a,b[$, pois dado $x \in [a,b[$, se $…

topologia:exemplo:sorgenfreylocconexcaminhos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-19T08:37:59+00:00

A reta de Sorgenfrey não é localmente conexa por caminhos Segue diretamente do fato de que conexidade por caminhos $\Rightarrow$ conexidade e de que a reta de Sorgenfrey não é localmente conexa.

topologia:exemplo:sorgenfreylocconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-19T08:27:27+00:00

A reta de Sorgenfrey não é localmente conexa Se $\mathbb{R}_{S}$ fosse localmente conexa, então todo ponto $x \in \mathbb{R}_{S}$ admitiria $\mathcal{B}_{x}$ uma base local conexa. Seja $B \in \mathcal{B}_{x}$. Como $x \in B$ e $B$ é aberto, então existiria $\epsilon > 0$ tal que $[x, x+\epsilon[ \subset B$. Mas daí teríamos uma contradição com a hipótese de $B$ ser conexo, pois $[x, x+ \epsilon[$$B$

topologia:exemplo:sorgenfreymetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-21T16:42:13+00:00

A reta de Sorgenfrey não é metrizável De fato, basta notar que, como já demonstrado, a reta de Sorgenfrey é separável, mas não satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. Logo não pode ser metrizável.

topologia:exemplo:sorgenfreynormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-10T14:00:30+00:00

A reta de Sorgenfrey satisfaz $T_{4}$ e é normal Sejam $A, B \subset \mathbb{R}_{S}$ fechados tais que $A \cap B = \emptyset$. Agora, para cada $a \in A$ e $b \in B$, sejam $x_{a}, x_{b} \in \mathbb{R}_{S}$ tais que $[a, x_{a}[ \cap B = \emptyset$ e $[b, x_{b}[ \cap A = \emptyset$. Defina $U = \bigcup_{a \in A}[a,x_{a}[$ e $V = \bigcup_{b \in B}[b,x_{b}[$. É claro que $U$ e $V$ são abertos, $A \subset U$ e $B \subset V$. Temos também que $U \cap V = \emptyset$, pois se $y \in U \cap V$, entã…

topologia:exemplo:sorgenfreyparacompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-16T14:41:30+00:00

A reta de Sorgenfrey é paracompacta Visto que $\mathbb{R}_{S}$ é regular e de Lindelöf, então é paracompacto, conforme mostrado aqui.

topologia:exemplo:sorgenfreyregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-10T13:58:25+00:00

A reta de Sorgenfrey satisfaz $T_{3}$ e é regular Sejam $x \in \mathbb{R}_{S}$ e $F \subset \mathbb{R}_{S}$ fechado tal que $x \notin F$. Primeiro note que como $F$ é fechado, então existe $\epsilon > 0$ tal que $[x,x+\epsilon[ \cap F = \emptyset$. Seja $A = [x,x+\epsilon[$ e $B = \mathbb{R}_{S} \setminus A$. Note que assim $A$ é aberto, $x \in A$ e $A \cap B = \emptyset$. Vamos mostrar que $F \subset B$ e $B$ é aberto. De fato, como $A \cap F = \emptyset$, então $F \subset B$ por construção…

topologia:exemplo:sorgenfreyseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-10T14:01:50+00:00

A reta de Sorgenfrey é separável Basta mostrar que $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ é denso na topologia de $\mathbb{R}_{S}$. De fato, dado $x \in \mathbb{R}_{S}$, note que, para todo $\epsilon > 0$, $[x,x+\epsilon[$ é aberto contendo $x$ e $[x,x+\epsilon[ \cap \mathbb{Q} \neq \emptyset$.

topologia:exemplo:sorgenfreyt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-10T13:57:01+00:00

A reta de Sorgenfrey satisfaz $T_{0}$ Dados $x, y \in \mathbb{R}_{S}$ distintos. Suponha que $x < y$, então tomando $A = [x, y[$ temos que $A$ é aberto. Além disso $x \in A$ e $y \notin A$.

topologia:exemplo:sorgenfreyt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-10T13:57:45+00:00

A reta de Sorgenfrey satisfaz $T_{1}$ Dados $x,y \in \mathbb{R}_{S}$ distintos. Assim temos dois casos. Se $x < y$, então $A = [x,y[$ é aberto tal que $x \in A$ e $y \notin A$. Por outro lado, se $y < x$, então dado $\epsilon > 0$, $B = [x, x+\epsilon[$ é aberto e tal que $y \notin B$ e $x \in B$.

topologia:exemplo:sorgenfreyt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-10T13:58:00+00:00

A reta de Sorgenfrey satisfaz $T_{2}$ Sejam $x,y \in \mathbb{R}_{S}$. Sem perda de generalidade, podemos supor $x < y$. Então tomando $A = [x,y[$ e $B = [y, y+\epsilon[$, onde $\epsilon > 0$, temos que $x \in A$ e $y \in B$. Além disso $A \cap B = \emptyset$, pois caso contrário, se $z \in A \cap B$, então teríamos $z < y$ e $z \geq y$ o que é uma contradição.

topologia:exemplo:sorgenfreyzerodimensional

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-21T17:14:36+00:00

A reta de Sorgenfrey é zero-dimensional Considere $\mathcal{B} = \{[a,b[ : a,b \in \mathbb{R}$ e $ a < b\}$. Agora basta notar que $\mathcal{B}$ é base para $\mathbb{R}_{S}$ formada por abertos fechados.

topologia:exemplo:stonecechn

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-07T00:12:26+00:00

Definição. A compactificação de Stone–Čech dos naturais é o espaço topológico $\beta\mathbb{N}$ definido como a compactificação de Stone–Čech do espaço topológico discreto associado à $\mathbb{N}$. ---------- Axiomas de enumerabilidade * Não possui bases locais enumeráveis. * Não possui base enumerável. * É separável. Axiomas de separação * Satisfaz $T_{0}$. (Kolmogorov)

topologia:exemplo:stonecechnfirstcountable

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-07T00:46:49+00:00

Demonstração 1. Todo espaço Hausdorff, separável, e com bases localmente enumeráveis tem cardinalidade menor ou igual à $2^{\aleph_{0}}$, mas $\beta\mathbb{N}$ tem cardinalidade $2^\mathfrak{c}$. Demonstração 2. Sabemos que todo espaço $X$ com bases localmente enumeráveis é tal que uma função $f\colon X\to Y$$f$$\beta\mathbb{N}$$f\colon\beta\mathbb{N}\to(\beta\mathbb{N})_{\mathrm{disc}}$$f$$\beta\mathbb{N}$

topologia:exemplo:stonecechnmetrisable

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T21:46:38+00:00

Todo espaço metrizável possui bases localmente enumeráveis, mas este não é o caso de $\beta\mathbb{N}$.

topologia:exemplo:stonecechnsecondcountable

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T21:44:23+00:00

$\beta\mathbb{N}$ não possui bases localmente enumeráveis, e portanto não possui bases enumeráveis.

topologia:exemplo:stonecechnseparable

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T21:41:45+00:00

Como $X$ é denso em $\beta X$ e $X=\mathbb{N}$ é enumerável segue que $\beta\mathbb{N}$ é separável.

topologia:exemplo:stonecechnt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T21:50:07+00:00

$\beta\mathbb{N}$ é $T_1$, e portanto $T_0$.

topologia:exemplo:stonecechnt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T21:49:34+00:00

$\beta\mathbb{N}$ é $T_2$, e portanto $T_1$.

topologia:exemplo:stonecechnt2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T21:48:22+00:00

Como $\mathbb{N}$ é $T_4$, o Teorema 2 da página da compactificação de Stone–Čech pode ser aplicado, mostrando que $\beta\mathbb{N}$ é Hausdorff.

topologia:exemplo:stonecechnt3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-07T00:16:15+00:00

Como $\beta\mathbb{N}$ é compacto e Hausdorff, segue que $\beta\mathbb{N}$ é também $T_3$.

topologia:exemplo:stonecechnt4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-07T00:13:36+00:00

Como $\beta\mathbb{N}$ é compacto e Hausdorff, segue que $\beta\mathbb{N}$ é também $T_4$.

topologia:exemplo:stonecechnt312

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-07T00:15:37+00:00

Como $\beta\mathbb{N}$ é $T_3$ e $T_4$, segue que $\beta\mathbb{N}$ é também $T_{3\,1/2}$.

topologia:exemplo:supcomplete

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T23:31:27+00:00

$C([0,1],\mathbb{R})$ com a norma do supremo é espaço métrico completo. Demonstração: Considere uma sequência de Cauchy $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de elementos de $C([0,1],\mathbb{R})$. Dado $\varepsilon>0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que para todo $n>m\ge n_0$: $$|f_n(x)-f_m(x)|\le |f_n-f_m|\le \varepsilon\ \forall x\in [0,1]$$ logo $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ é de Cauchy para cada $x\in [0,1]$ e portanto convergente. Assim, existe $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $$\lim_{n\to \inft…

topologia:exemplo:supconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T22:13:54+00:00

$C([0,1],\mathbb{R})$ com a norma do supremo é conexo por caminhos. Em particular, é conexo (veja Conexos por caminhos). Demonstração: Dadas $f,g\in C([0,1],\mathbb{R})$, defina: $$\alpha:[0,1]\rightarrow C([0,1],\mathbb{R})$$ $$t\mapsto f+t\cdot (g-f)$$ Note que $\alpha(0)=f$ e $\alpha(1)=g$. Além disso, $\alpha$ é contínua, pois dados $p\in [0,1]$ e $\varepsilon>0$: Se $f=g$, então $\alpha$ é constante e portanto contínua. Se $f\neq g$, defina $\delta=\frac{\varepsilon}{|f-g|}$; se $|t-p|<…

topologia:exemplo:suplindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-02T11:27:40+00:00

$C([0,1],\mathbb{R})$ com a norma do supremo é um espaço topológico de Lindelöf, i.e., toda cobertura aberta admite subcobertura enumerável. Tal fato é consequência imediata do seguinte lema. Lema Todo espao métrico separável é espaço de Lindelöf. Demonstração:$(X,d)$$\{x_n:n\in \mathbb{N}\}\subset X$$\mathcal{C}$$X$$$\mathcal{C}':=\{U\in \mathcal{C}:\exists n\in \mathbb{N},q\in \mathbb{Q}_{>0},\ B_q(x_n)\subset U\}$$$\mathcal{C}''\subset \mathcal{C}'$$U_1,U_2\in \mathcal{C}'$$B_q(x_n)\subse…

topologia:exemplo:suplocconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T22:39:33+00:00

Dado um espaço vetorial real normado $V$, então $$B_r(p)=\{v\in V:|v-p|0$. Demonstração: Dados $u,v\in B_r(p)$ e $t\in [0,1]$: $$|tu+(1-t)v-p|=|t(u-p)+(1-t)(v-p)|\le |t(u-p)|+|(1-t)(v-p)|=t|u-p|+(1-t)|v-p|

topologia:exemplo:supnotcompact

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T21:28:18+00:00

$C([0,1],\mathbb{R})$ com a norma do supremo não é compacto. Demonstração: Suponha $C([0,1],\mathbb{R})$ localmente compacto e considere $B_1(0)=\{f\in C([0,1],\mathbb{R}):|f|<1\}$; pela compacidade local, existe vizinhança compacta da função nula $K\subset B_1(0)$. Também, existe $r>0$ com $B_{2r}(0)\subset K$. Para cada $n\in \mathbb{N}$, defina $$f_n:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$$ $$x\mapsto rx^n$$ Para cada $n\in \mathbb{N}$, $|f_n|=r$ e temos $f_n\in B_{2r}(0)\subset K$; além disso $$\lim_{…

topologia:exemplo:supseparable

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-01T20:10:43+00:00

$C([0,1],\mathbb{R})$ com a norma do supremo é separável Definição Sejam $(X,d)$ e $(Y,d')$ espaços métricos e $f:X\rightarrow Y$. Dizemos que $f$ é uniformemente contínua se para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que se $d(x,y)\le delta\Rightarrow d'(f(x),f(y))\le \varepsilon$ para todos $x,y\in X$. Lema Se $(X,d)$ e $(Y,d')$ são espaços métricos, $f:X\rightarrow Y$ é contínua e $(X,d)$ é compacto, então $f$$\varepsilon>0$$p\in X$$\delta_p>0$$d(x,p)\le \delta_p\Rightarrow d'(f(x),f…

topologia:exemplo:supseparacao

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:08:04+00:00

Como $C([0,1],\mathbb{R})$ com a norma do supremo é espaço métrico, foi visto durante o curso que tal espaço é normal. Além disso, vimos que, se $(X,\tau)$ é espaço topológico: $$X\text{ normal}\Rightarrow X\text{ regular}\Rightarrow X\text{ Hausdorff}\Rightarrow X\text{ é }T_1\Rightarrow X\text{ é }T_0$$ e como todo espaço normal em particular é $T_4$ e todo espaço regular é em particular $T_3$, temos o desejado.

topologia:exemplo:szerodim0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-24T17:16:32+00:00

$S$ é zero-dimensional, logo completamente regular Se um espaço topológico é zero-dimensional, ele é completamente regular, como pode ser visto em LINKAR. Vamos mostrar que o conjunto $S$, munido com a topologia herdada de $X$, é zero-dimensional, logo completamente regular. A base de $S$$S$$\mathcal{B}'=\{\{(x,y)\}: (x,y)\in S \text{, e } y>0\} \bigcup \{A_x\setminus F : x\in \mathbb{R} \text{, e } F \text{ é finito e não contém } (x,0)\}$$\mathcal{B}'$$S$\(S=\underset{x\in\ma…

topologia:exemplo:topologiadetelofase

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T21:10:15+00:00

Topologia de telófase Definição Seja $S= [ 0,1 ] ∪ \{1^∗\}$ onde: $[ 0,1 ]$ é o intervalo da unidade fechada $\{ x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 \}$, $1^∗$ é um segundo ponto final à direita de $[ 0,1 ]$. Seja $\mathcal{B}$ uma base local definida como: $\mathcal{B} = \{ ( a,1 ) ∪ \{1^∗\} : a ∈ [ 0..1 ] \}$ Seja $\tau$ a topologia gerada a partir de $\mathcal{B}$. $\tau$ é conhecida como topologia de telófase$X,r$$[ -1,1 ] / R$$R$$\{-1\}$$\{1\}$$\{x,-x\}$$x ∈ (-1,1)$$(X,\tau)$$T_{1}$$[0,1]$$ a ∈ [0,1] …

topologia:exemplo:topologiameiodisco

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T21:06:55+00:00

Topologia de meio disco A topologia de meio disco é um exemplo de uma topologia dada ao conjunto $X$ por todos os pontos $(x, y)$ no plano tal que $y ≥ 0$ . O conjunto $X$ pode ser denominado meio plano superior fechado. Construção Consideramos $X$ para consistir no meio plano superior aberto $P$$(x, y)$$y> 0$$L$$(x, y)$$y = 0$$X$$P \cup L$$P$$X = P \cup L$${(x, 0)} \cup {(P \cap U)}$$(x, 0)$$L$$U$$(x, 0)$

topologia:exemplo:topologia_compacta_maxima

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T20:37:12+00:00

Topologia Compacta Máxima Seja $ X $ o conjunto de todos os pontos de uma rede formado por $(i,j)$ de inteiros positivos juntos com dois pontos ideais $x$ e $y$. A topologia $\tau$ em $X$ é definida tomando cada ponto desse aberto e tomando como vizinhanças de conjunto da forma $ X - A $$A$$y$$X - B$$B$$T_3$$T_4$$\tau$

topologia:exemplo:topologia_minima_de_hausdorff

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-29T22:50:14+00:00

Topologia Mínima de Hausdorff Se $A$ é um conjunto linearmente ordenado $\{1,2,3,\ldots,\omega,\ldots,-3,-2,-1\}$ com intervalo topológico, e se $\mathbb{Z^+}$ é o conjunto dos inteiros positivos com topologia discreta, definimos $X$ sendo $A \times \mathbb{Z^+}$ junto com dois pontos $a$ e $-a$. A topologia $\tau$ em $X$ é determinada pelo produto topologico em $A \times \mathbb{Z^+}$$M_n^+(a) = \{a\}\cup\{(i,j):i < \omega, j > n\}$$T_3$$T_4$

topologia:exemplo:ventenenumbaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-13T16:45:08+00:00

Possui bases enumeráveis? Sabemos pela demonstração anterior que o ventilador não enumerável não admite bases locais enumráveis, assim por sabermos que o primeiro axioma de enumerabilidade implica o segundo, temos que o ventilador não enumerável não admite Bases Enumeráveis.$\square$

topologia:exemplo:ventenenumbaselocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T14:00:15+00:00

Possui bases locais enumeráveis? * Vamos mostrar que $\tilde{(0,0)}$ não admite base local enumerável, notemos que para cada função $f: \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}$, que gera uma determinada sequência do ventilador, tem o seguinte conjunto como uma vizinhança aberta de $\tilde{(0,0)}$: $$A_f = \{\tilde{(0,0)}\}\cup\{\tilde{(r,\frac{1}{k})}: r \in \mathcal{R}, k \geq f(r) \text{ e } k \in \mathbb{N}\}$$ * Notemos agora que $\{A_f : f: \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}\}$$\tilde{…

topologia:exemplo:ventenenumcompact

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T14:04:56+00:00

É compacto? * Vamos supor o ventilador não enumerável($X$) compacto e tomemos $\mathcal{B}$ cobertura de $X$, formada pelos abertos unitários não centrais das hélices e pelo aberto quer contém o ponto central, assim $\mathcal{B}$ possui não enumeráveis abertos, vamos tomar então $\mathcal{A}$$\mathcal{A} \subset \mathcal{B}$$\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A = X$$\{x\} \in \mathcal{B}$$\{x\} \notin \mathcal{A}$$\{x\} \notin \bigcup_{A \in \mathcal{A}} A$$\{x\}$$X$

topologia:exemplo:ventenenumcompreg

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-03T15:22:36+00:00

É $T_{3\frac{1}{2}}$ e completamente regular? Pelo Lema de Urysohn tomando dois fechados $A$ e $B$ podemos fazer uma função que leva $A$ no $\{0\}$ e $B$ no $\{1\}$, portanto podemos tomar o fechado $A$ como o ponto $x$, pois todos os pontos do espaço do ventilador não enumerável são fechados, portanto o espaço do ventilador não enumerável é $T_{3\frac{1}{2}}$$T_1$

topologia:exemplo:ventenenumconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-14T18:19:57+00:00

É conexo? Vamos olhar a demonstração de que é zero-dimensional, criamos um aberto $A$ que é o conjunto de todos os pontos que não são centrais, e tomamos $A^c$. Sabemos que $A \cup A^c$ forma o espaço todo, e mostramos também que $A^c$ é um conjunto aberto, portanto o espaço do ventilado não enumerável não é conexo.

topologia:exemplo:ventenenumconexoporcami

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-15T15:19:44+00:00

É conexo por caminhos ? Sabemos que o espaço do ventilador não é conexo, portanto não é conexos por caminho. $\square$

topologia:exemplo:ventenenumhausdorff

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T13:57:00+00:00

O ventilador não enumerável é $T_2$? Temos duas opções para os pontos do ventilador, ou eles pertencem a apenas uma hélice, ou “a parte central do ventilador”(é da forma $(r,0)$): * Vamos tomar $x,y$ pertencentes a apenas uma hélice(ou seja, não são pontos centrais), como dito anteriormente $x,y$$x$$y \neq x$$\{y\}$$y$$x$$x = \{(m,0):m \in \mathbb{R}\}$$x$$\mathbb{R}^2$$X$$(m,0)$$y$$x$$y$

topologia:exemplo:ventenenumlocalconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-15T16:32:17+00:00

É localmente conexo ? * Sabemos que o espaço do ventilador não enumerável não é conexo, mais que isso, é fácil perceber que nenhum subconjunto dele é conexo, pois todos os pontos são abertos e união de abertos é aberto, assim nenhum ponto admite base local conexa, assim o espaço do ventilador não enumerável não é localmente conexo.

topologia:exemplo:ventenenumlocalconexocami

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-15T15:26:58+00:00

É localmente conexo por caminhos? O espaço do ventilador não é conexo por caminhos, portanto não é localmente conexo por caminhos. $\square$

topologia:exemplo:ventenenumlocalmentecompact

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T14:06:14+00:00

É localmente compacto? * Vamos tomar $x$ um ponto não central, assim vamos analisar um sistema fundamental de vizinhanças $\mathcal{V}$ qualquer de $x$, com isso tomemos o aberto $\{x\}$, assim existe $V \in \mathcal{V}$ tal que $x \in V \subset \{x\}$, portanto $V = \{x\}$, que não é compacto, assim para um $x$ qualquer não existe sistema fundamental de vizinhanças compactas, portanto o espaço do ventilador não enumerável não é localmente compacto.

topologia:exemplo:ventenenummetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T15:59:04+00:00

É metrizável? Como mostrando anteriormente na demonstração, o espaço do ventilador não enumerável não possui bases locais enumeraveis, portanto não é metrizável. $\square$

topologia:exemplo:ventenenumnormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T13:59:22+00:00

O ventilador não enumerável é $T_4$? * Sejam $F,G \subset X$ fechados disjuntos, podemos dizer que ao menos um deles não possui nenhum ponto do centro do ventilador, vamos supor que seja $F$, como dito anteriormente, cada ponto $x$ não central é um ponto isolado, portanto é um aberto, sendo assim $F = \displaystyle \bigcup_{\{x\} \in X}$$F$$X \setminus F$$F \subset F$$G \subset X \setminus F$$T_4$$T_1$

topologia:exemplo:ventenenumregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-12T16:45:21+00:00

O ventilador não enumerável é $T_3$? Pela demonstração o espaço do ventilador não enumerável é $T_4$ e portanto é também $T_3$, além disso ele é $T_1$, portanto é um espaço regular.

topologia:exemplo:ventenenumsep

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T14:02:29+00:00

É separável? Vamos supor que o espaço do ventilador não enumerável é separável, assim existe ao menos um conjunto $D$ denso e enumerável ao ventilador, porém sabemos que existem não enumeráveis pontos presentes no ventilador, sem perda de generalidade tome um ponto $x$$x \notin D$$x$$A$$x \in A$$A \cap D = \emptyset$$x$$D$

topologia:exemplo:ventenenumt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-22T10:01:42+00:00

O ventilador não enumerável é $T_0$? Pela demonstração o espaço do ventilados não enumerável é $T_2$, portanto é $T_0$ $\square$

topologia:exemplo:ventenenumt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-22T10:04:06+00:00

O ventilador não enumerável é $T_1$? Pela demonstração o espaço do ventilados não enumerável é $T_2$, portanto é $T_1$ $\square$

topologia:exemplo:ventenenumzerodimin

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-08-02T13:38:11+00:00

É zero-dimensional ? * Para cada ponto não central é fácil de visualizar que existe uma base que o gera, pois sendo cada ponto um ponto isolado, temos também que cada ponto é um aberto fechado, uma base para um ponto seria ele mesmo. * Vamos analisar agora um ponto do centro:$A$$A$$B$$B^c$$B^c$

topologia:exemplo:ventenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-13T16:25:51+00:00

Espaço do Ventilador (Enumerável) Definição: Considere \begin{equation} V = \{\infty\}\cup\{a_{m,n} : (m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}\} \end{equation} com a topologia satisfazendo: * Todo ponto $a_{m,n}$ é isolado; * $\mathcal{B} = \{B_f \;|\; f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\}$ é uma base local para $\infty$, onde $B_f = \{\infty\}\cup\{a_{m,n} : m \in \mathbb{N},\;n > f(m)\}$. Tal espaço é chamado Espaço do Ventilador. Abaixo iremos apresentar uma definição alternativa…

topologia:exemplo:ventenum0dimen

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-20T21:12:21+00:00

O ventilador enumerável é zero-dimensional Sabemos que todo espaço regular enumerável é zero-dimensional (Demonstração). Também, sabemos que o ventilador enumerável é regular (Demonstração). Portanto,o espaço do ventilador enumerável é zero-dimensional.

topologia:exemplo:ventenumbaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-20T19:07:50+00:00

Não possui base enumerável Sabemos que se um espaço topológico $(X,\tau)$ satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade, então também satisfaz o primeiro axioma da enumerabilidade (Demonstração). Sabemos que o espaço do ventilador enumerável não possui base local enumerável em $\tilde{(0,0)}$ ( Demonstração). Portanto, temos que ele também não possui base enumerável.

topologia:exemplo:ventenumbaselocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-20T18:39:08+00:00

O ponto $\tilde{(0,0)}$ não admite base local enumerável Sejam $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ funções. Sejam, também, $(A_f)$ abertos definidos da seguinte forma: \begin{equation} A_f = \{\tilde{(0,0)}\} \cup \{\tilde{(n,\frac{1}{k})} : n \in \mathbb{N}, k > f(n)\} \end{equation} É claro que $\{A_f | f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\}$ é uma base local para $\tilde{(0,0)}$. Suponha, por contradição, que existe uma coleção $(A_{f_m})_{m \in \mathbb{N}}$ que é uma base. Defina $g…

topologia:exemplo:ventenumcompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-13T15:50:23+00:00

Não é compacto Seja $B_f \in \mathcal{B}$. É claro que existem infinitos $x \notin B_f$. Mas, então, a coleção de abertos $\mathcal{O} = \{B_f\}\cup\{\{x\}:x \notin B_f\}$ é uma cobertura infinita que não admite subcobertura finita.

topologia:exemplo:ventenumcompreg

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-13T15:35:17+00:00

É $T_{3\frac{1}{2}}$ e completamente regular Como sabemos, o ventilador enumerável é $T_1$ e zero-dimensional. Então, ele também é completamente regular e, em particular, $T_{3\frac{1}{2}}$.

topologia:exemplo:ventenumconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-13T16:28:05+00:00

Não é conexo Seja o espaço do ventilador enumerável $V$. Considere $B_f \in \mathcal{B}$ e $(V - B_f)$. Note que ambos são abertos, não vazios, disjuntos e cobrem todo o espaço.

topologia:exemplo:ventenumconexocam

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-13T16:33:14+00:00

Não é conexo por caminhos Primeiramente, note que o ventilador enumerável $V$ é um espaço totalmente desconexo: basta notar que, para qualquer $O \subset V$ com mais de um elemento, existe pelo menos um $x \in O$ que é aberto fechado. Assim, as componentes conexas são conjuntos unitários.

topologia:exemplo:ventenumhausdorff

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-20T20:32:13+00:00

É Hausdorff Primeiramente, lembremos que $(X, \tau)$ é um espaço de Hausdorff (ou um espaço $T_2$) se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos, existem $A$ e $B$ abertos tais que $x \in A$, $y \in B$, e $A \cap B = \emptyset$. Seja $(V,\tau)$ o espaço do ventilador enumerável com a topologia quociente. Sejam, também, $x,y \in V$ distintos. Se $x,y \neq \infty$, então $\{x\}$ e $\{y\}$$x = \infty$$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$y \notin B_f$$x = \infty \in B_f$$\{y\}$$B_f$$B_f \cap \{y\} =…

topologia:exemplo:ventenumlindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-13T16:19:10+00:00

É Lindelöf Sejam $\mathcal{O}$ uma cobertura aberta não enumerável do espaço do ventilador enumerável $V$ e $\mathcal{O}_{\infty} = \{U \in \mathcal{O}\;:\;\infty \in U\}$. A prova será dividida em dois casos: * $\mathcal{O}_{\infty}$ enumerável: para cada $x \neq \infty$ tome um aberto $A \subset \mathcal{O}$ tal que $x \in A$. Assim, obtemos uma subcobertura enumerável. * $\mathcal{O}_{\infty}$ não-enumerável: considere $\mathcal{B}' = \{B_f \in \mathcal{B}\;:\;B_f \subset U \quad para \…

topologia:exemplo:ventenumlocalcomp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-13T15:56:53+00:00

Não é localmente compacto Seja $V_{\infty}$ uma vizinhança de $\infty$. Então, existe $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que $B_f \subset V_{\infty}$. Considere a função $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ definida por $g(m) = f(m) + 1$, para todo $m \in \mathbb{N}$. Então, $B_g \subset B_f \subset V_{\infty}$. Mas, então, $B_g \cup \{\{x\}:x \in V_{\infty} - B_g\}$ é uma cobertura aberta de $V_{\infty}$ que não admite subcobertura finita e, portanto, $\infty$ não admite sistema loca…

topologia:exemplo:ventenumlocalcon

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-13T16:36:15+00:00

Não é localmente conexo Sejam $V$ o espaço do ventilador enumerável e $A \subset V$ um aberto tal que $\infty \in A$. Temos que existe $x \in A$ tal que $\{x\}$ é aberto fechado e, portanto, $A$ é desconexo. Assim, $\infty$ não admite base local conexa.

topologia:exemplo:ventenumlocalconcam

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-13T16:39:15+00:00

Não é localmente conexo por caminhos Vimos aqui que o ventilador enumerável não admite base local conexa. Assim, ele também não admite base local conexa por caminhos.

topologia:exemplo:ventenumnormal

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-20T20:47:43+00:00

O ventilador enumerável é normal Lembremos que o ventilador enumerável é $T_1$ (Demonstração). Assim, resta-nos mostrar que ele também é $T_4$. Sejam $F,G \subset V$ fechados disjuntos. Como eles são disjuntos, pelo menos um deles não possui o ponto $\infty$. Suponha, sem perda de generalidade, $\infty \notin G$$\{x\}$$x \in G$$G = \bigcup_{x \in G} \{x\}$$G$$V - G$$G \subset G$$F \subset V - G$

topologia:exemplo:ventenumparacomp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-13T16:22:47+00:00

É paracompacto Seja $\mathcal{O}$ uma cobertura aberta do espaço do ventilador enumerável e $O \in \mathcal{O}$ tal que $\infty \in O$. Então, existe $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que $B_f \subset O$. A coleção de abertos $B_f \cup \{\{x\}\;:\;x \notin B_f\}$ é um refinamento de $\mathcal{O}$ formado por abertos disjuntos e, portanto, localmente finita.

topologia:exemplo:ventenumregular

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-20T20:50:53+00:00

O ventilador enumerável é regular Sabemos que o ventilador enumerável é normal (Demonstração). Também, sabemos que todo espaço normal é regular (Demonstração). Portanto, o ventilador enumerável é regular.

topologia:exemplo:ventenumsep

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-20T19:58:28+00:00

O espaço de ventilador enumerável é separável Por construção, o espaço do ventilador como definimos é enumerável. Assim, considerando o espaço todo, temos um conjunto denso e enumerável. Portanto, o espaço é separável.

topologia:exemplo:ventenumt0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-20T20:38:03+00:00

O ventilador enumerável é $T_0$ Lembremos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é chamado de $T_0$ quando dados quaisquer $x,y \in X$ tais que $x \neq y$, existe um aberto $A$ tal que $$ (x \in A ~~ \text{e} ~~ y \notin A) ~~~~~~ \text{ou} ~~~~~~ (x \notin A ~~ \text{e} ~~ y \in A). $$ O ventilador enumerável é de Hausdorff ( Demonstração). Assim, é claro que também é $T_0$.

topologia:exemplo:ventenumt1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-20T20:35:41+00:00

O ventilador enumerável é T1 Lembremos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é chamado de $T_1$ se, para quaisquer $x,y \in X$ distintos, existe um aberto $A$ tal que $x \in A$ e $y \notin A$. O ventilador enumerável é de Hausdorff ( Demonstração). Assim, é claro que também é $T_1$.

topologia:exemplo:ventiladorseq

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-28T17:54:57+00:00

Exercício 3.3.14. O espaço do ventilador tem sequências convergentes não triviais? ---------- Sim, a ideia é tomar uma sequência que está totalmente contida em uma das hélices. Para isso, seja $F = (X/ \sim, \sigma)$, sendo $\sigma$ a topologia quociente, o espaço do ventilador, e tome a sequência ${(x_n)}_{n \in \mathbb{N}} \in F $$x_n = (m_0,\frac{1}{n})$$m_0 \in \mathbb{R}$$n,k \in \mathbb{N} \ tq \ n \neq k$$(m_0,\frac{1}{n}), (m_0,\frac{1}{k})$$x_n,x_k$\(\frac{1}{n} \neq …

topologia:exemplo:zarikicompmetrizavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T19:19:17+00:00

$k^{n}$ com a topologia de Zariski não é completamente metrizável Basta notar que $k^{n}$ com a topologia de Zariski não é metrizável.

topologia:exemplo:zariski

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T22:30:30+00:00

Topologia de Zariski Definição: Dado um corpo algebricamente fechado $k$ de característica zero, definimos os fechados de $k^{n}$ como sendo conjuntos $X \subset k^{n}$ onde $X$ é tal que existe $S \subset k[x_{1}, \ldots,x_{n}]$ que satisfaz $Z(S) = \{ x \in k^{n}: f(x) = 0 \ \forall f \in S \} = Z$. Vamos mostrar que quando $k$ é finito tal topologia se reduz a topologia discreta Da álgebra comutativa conseguimos mostrar que $Z(S) = Z(\langle S \rangle)$$\langle S \rangle$$S$$S \subset k[x_{…

topologia:exemplo:zariskiabertosbasicosdensos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T16:17:55+00:00

Proposição: Todo aberto da forma $U_{f}$ é denso Demosntração: Notemos que $\overline{U_{f}} = \underset{g \in V(U_{f}))}{\bigcap} Z(g)$. Notemos que $\overline{U_{f}} = k^{n} \iff$ qualquer polinômio que se anula em $U_{f}$ se anula em $k^{n}$. Mas notemos que como $k$ é infinito, temos que $U_{f}$ é infinito. De fato, notemos que $f(x_{1},0,\ldots,0) = 0$, possui apenas finitas soluções, logo, $(k \setminus V(f)) \times \{ 0 \}^{n - 1}$$U_{f}$$U_{f}$$k^{n}$$g \in V(U_{f})$$g$$f$$gf(x) = g(x)f…

topologia:exemplo:zariskiabertosdensos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T15:55:42+00:00

Proposição: Todo aberto não vazio de $k^{n}$ é denso. Demonstração: Basta notar que todo aberto básico de Zariski da forma $U_{f}$ é denso.

topologia:exemplo:zariskibase

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T15:54:51+00:00

Base da Topologia de Zariski em $k^{n}$ Os abertos da forma $U_{f} = \{ x \in k^{n}: f(x) \neq 0 \}$ para $f \in k[x_{1},\ldots,x_{n}]$ formam uma base para a topologia de Zariski de $k^{n}$. Isso segue diretamente da primeira observação da página principal da topologia de Zariski.

topologia:exemplo:zariskibaseenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T19:29:25+00:00

A topologia de Zariski possui base enumerável Suponha que a topologia de Zariski possua base enumerável digamos $\{ U_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$. Logo, qualquer aberto pode ser escrito como união de elementos de tal base. Caso o espaço seja enumerável temos de cara que o mesmo possui base enumerável. Agora, caso o espaço seja não enumerável temos que a topologia euclidiana em $k^{n}$$k^{n}$$k^{n}$

topologia:exemplo:zariskicompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T18:41:45+00:00

$k^{n}$ com a topologia de Zariski é compacto Para ver isso, basta notarmos $k^{n}$ com a topologia de Zariski é um espaço topológico Noetheriano pois $k[x_{1},\ldots,x_{n}]$ é um anel Noetheriano e assim, todo subespaço seu é compacto, em particular, $k^{n}$ é subespaço de $k^{n}$ e logo, compacto

topologia:exemplo:zariskiconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T19:06:45+00:00

$k^{n}$ com a topologia de Zariski é conexo Sejam $F,G \subset k^{n}$ fechados disjuntos tais que $F \cup G = k^{n}$. Notemos que existem ideais radicais de $k[x_{1},\ldots,x_{n}]$, digamos $I,J$ tais que $F = V(I)$ e $G = V(J)$, assim, $V(\{ 0 \}) = k^{n} = V(I) \cup V(J) = V(IJ) \implies I = 0$ ou $J = 0$, logo $G = k^{n}$ ou $F = k^{n}$ e portanto ou $F = \emptyset$ ou $G = \emptyset$. Além disso. conseguimos caracterizar os conjuntos conexos como sendo os conjuntos $V(I)$$I$$k[x_{1},\ldots…

topologia:exemplo:zariskidisc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T14:32:27+00:00

Seja $k$ um corpo finito, algebricamente fechado e de característica $0$. Vamos mostrar que todo subconjunto unitário de $k$ é fechado e portanto a topologia do espaço será a discreta. Sejam $k = \{ a_{1},\ldots, a_{r} \}$ e $a = (a_{i_{1}},\ldots,a_{i_{n}}) \in k^{n}$, notemos que $V(\{ x_{1} - a_{i_{1}}, \ldots, x_{n} - a_{i_{n}} \}) = \{ a \}$ como queríamos.

topologia:exemplo:zariskilindelof

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T19:14:22+00:00

$k^{n}$ com a topologia de Zariski é de Lindelof Notemos que como $k^{n}$ é compacto com a topologia de Zariski, em particular é de Lindelof.

topologia:exemplo:zariskiloccomp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T18:43:41+00:00

$k^{n}$ com a topologia de Zariski é localmente compacto Para isso, basta notar que a topologia de Zariski é Noetheriana, pois $k[x_{1},\ldots,x_{n}]$ é um anel Noetheriano, e logo, todo aberto é compacto.

topologia:exemplo:zariskilocconexo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T18:24:20+00:00

$k^{n}$ com a topologia de Zariski não é localmente conexo Notemos que toda componente conexa é fechada, assim, como como $k^{n}$ é conexo com a topologia de zariski, temos que tais componentes conexas não podem ser abertas, e logo, $k^{n}$ com a topologia de Zariski não é localmente conexo.

topologia:exemplo:zariskimetri

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T19:06:36+00:00

A topologia de Zariski não é metrizável Basta notar que interseção de dois Zariski abertos não vazios é não vazia. Ou, em particular que a topologia de Zariski não é Hausdorff.

topologia:exemplo:zariskiparacompacto

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T19:18:03+00:00

$k^{n}$ com a topologia de Zariski não é paracompacto Notemos que, na topologia de Zariski de $k^{n}$, os abertos são infinitos, logo $k^{n}$ com a topologia de Zariski não é paracompacto.

topologia:exemplo:zariskiseparavel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T18:00:24+00:00

A topologia de Zariski é separável Sabemos da álgebra que dentro de qualquer corpo existe uma cópia de $\mathbb{Z}$. Vamos provar por indução em $k^{n}$ que tal espaço com a topologia de Zariski é separável. Para o caso $n = 1$, consideremos a cópia de $\mathbb{Z}$ com a topologia de subespaço(que será a cofinita). Como sabemos que todo aberto Zariski não vazio é denso, temos que tal cópia de $\mathbb{Z}$$k^{n}$$k^{n + 1}$$D \subset k^{n}$$D \times \mathbb{Z}$$D$$\mathbb{Z}$$\overline{D \times …

topologia:exemplo:zariskit0

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T15:01:33+00:00

A Topologia de Zariski é $T_{0}$ Basta notar que tal ptopologia é $T_{1}$.

topologia:exemplo:zariskit1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T15:00:02+00:00

A Topologia de Zariski é $T_{1}$ Sejam $a = (a_{1},\ldots,a_{n}), b = (b_{1},\ldots,b_{n}) \in k^{n}$ com $a \neq b$. Vamos mostrar que existe aberto $A$ tal que $a \in A$ e $b \notin A$. Seja $V = V(\{ x_{1} - b_{1}, \ldots, x_{n} - b_{n} \})$, notemos que $a \notin V$(pois, como $a \neq b$ então pelo menos uma coordenada de $a$ difere com a coordenada respectiva de $b$, logo $a$ não zera um dos polinômios $x_{i} - b_{i}$) e $b \in V$. Com isso acabamos, pois basta tomar $A = V^{c}$$a \in A$$b…

topologia:exemplo:zariskit2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T15:43:47+00:00

A Topologia de Zariski não é Hausdorff Vamos mostrar que tal topologia não é Hausdorff em $k^{n}$ reduzindo para o caso $n = 1$ notando que a topologia de subespaço de $k \times \{ 0 \}^{n - 1} \subset k^{n}$ é a topologia de Zariski em $k$(que é a topologia cofinita). Logo identificando $k$ com $k \times \{ 0 \}^{n - 1}$,temos que $k^{1} \times \{ 0 \}^{n - 1}$$k^{n}$$k^{n}$

topologia:exemplo:zariskit3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T16:37:51+00:00

A Topologia de Zariski não é $T_{3}$ Para isso, usaremos o fato de que todo Zariski aberto não vazio é denso. Seja $x \in k^{n}$ e $V$ aberto contendo $x$, notemos que para qualquer aberto $A$, inclusive os que $x \in A$ temos que $x \in A \subset \overline{A} \subset V \iff V = k^{n}$ pois $A$ é um aberto não nulo, e logo $\overline{A} = k^{n}$. Como existe aberto não nulo $V \neq k^{n}$ contendo $a = (a_{1},\ldots,a_{n})$(basta tomar o conjunto $\{ x \in k^{n}: x_{i} \neq a_{i} \}$$T_{3}$$T_…

topologia:exemplo:zariskit4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T16:35:45+00:00

A Topologia de Zariski não é $T_{4}$ Notemos que a topologia de Zariski não é Hausdorff, logo ela não é regular, e portanto ela não é normal. Mas sabemos que tal topologia é $T_{1}$, logo tal topologia não pode ser $T_{4}$

topologia:exemplo:zariskit312

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T16:43:08+00:00

A Topologia de Zariski não é $T_{3\frac{1}{2}}$ Sabemos que todo espaço completamente regular é regular, mas já mostramos que a topologia de Zariski não é regular, logo não é completamente regular.

topologia:exemplo:zariskybaselocenum

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-26T19:29:51+00:00

A Topologia de Zariski satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade Basta notar que a topologia de Zariski satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

topologia:exemplo:z_z

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-30T02:06:48+00:00

$\mathbb{Z}^{\mathbb{Z}}$ Seja $\mathbb{Z}^+$ inteiros positivos com topologia discreta; seja $X = \prod_{i\in\mathbb{Z}^+}^n\mathbb{Z}^+_i$ um produto cartesiano enumerável de cópias de $\mathbb{Z}^+$ com o $\tau$ como produto topológico de Tychonoff. Axiomas de separação * Satisfaz $T_{0}$. * Satisfaz $T_{1}$. * Satisfaz $T_{2}$. * Satisfaz $T_{3}$ e é regular. * Satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular. * Satisfaz $T_{4}$ e é normal. Axiomas de enumerabilidade…

WikiMat topologia:exemplo

topologia:exemplo:0_1